Преобразование Лапласа и его свойства

В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного р:

.(1.1)

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор , что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое преобразование Лапласа определяется уравнением.

, (1.2)

где —функция действительного переменного f, определенная при t≥ 0 (при t< 0; f(t)= 0) и удовлетворяющая условиям ограниченного роста:

, (1.3)

где множитель М и показатель роста с₀ — положительные дейст­вительные числа. На рис.(1.1) изображена область определения функции комплексного переменного F(p).

Рис. 1.1

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения

(1.4)

Функция , определяемая уравнением (1.2), носит название изображения по Лапласу, а функция в (1.4) — оригинала. следовательно, оригинал и изображение представляют собой пары функций действительного f(t) и комплексного F(p) переменного, связанных преобразованием Лапласа. Для сокращенной записи преобразований (1.2), (1.4) используют следующую симво­лу:

,

где L — оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности будем использовать знак соответствия . Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа. Свойство линейности является следствием линейности преоб­разования Лапласа, его можно записать в форме

(1.5)

где — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (1.5) легко доказать, если применить к левой части соотношения (1.5) прямое преобразование Лапласа (1.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных условиях: (0_)≠ 0 дифференцирование оригинала соответствует следующему условию

(1.6)

Для доказательства (1.6) подставим в преобразование (1.2) в виде