Лекция 5: Логарифмические частотные характеристики

Получение логарифмических частотных характеристик.

Прологарифмируем ЧПФ W(jω) = A(ω)e^{jφ (ω )}:

ln W(jω) = ln A(ω) + jφ (ω).

Вывод: Логарифмическая форма состоит не из произведения АЧХ и ФЧХ, а из суммы этих составляющих. Это удобно, т.к. позволяет строить и исследовать их раздельно.

На практике используют десятичный логарифм из-за удобства расчетов (кратность числу " десять").

История:

, т.е. тот же результат.

В начале 20 века фирма Белл (телеграфия) вела работы по передаче сигналов по линиям и исследовала их затухание. Сигнал оценивался мощностью, которая, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды (напряжения или тока I²R).

В результате для логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) было получено соотношение

,

где А(ω) – отношение амплитуд.

Эту ЛАЧХ L(ω) стали измерять в беллах. Т.к. 1 белл равен десятикратному изменению мощности , то десятикратное изменение амплитуды = 2 беллам. Т.к. , стократное изменение амплитуды: .

Это слишком большая величина для оценки небольших изменений, поэтому для удобства в ТАУ шкалу растянули, введя новую единицу измерения децибел за счет ввода в выражение L(ω) дополнительного коэффициента = 10. В результате получилась формула, которая используется и в связи, теоретическом управлении и телефонии и т.п. следующего вида: L(ω) = 20 lg A(ω) [дБ].

	L = 20 lgA, дБ	Величина 1 дБ равна: 20 lgA = 1, или , т.е. небольшая величина. Вопрос: из акустики – по отношению к чему определяется дБ. Ответ: порог чувствительности уха – шепот в библиотеке. бел
10 000
10 000 000
10 млн.	порог для разрушения уха

Замечание: Величина модуля A(ω) должна быть безразмерной величиной. Это часто выполняется, например, электронные регуляторы, передаточная функция разомкнутой САУ и т.п. Однако, и для размерных величин и A(ω) осуществляется логарифмирование, а исходная размерность приписывается результату, например lgω принимают за .

Логарифмическая шкала и ее координаты

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ требуется стандартная логарифмическая сетка. По оси абсцисс откладывается lgω, а по оси ординат L(ω). Ось ординат не проходит через ω = 0, т.к. lg 0 = -∞. Оси ординат φ (ω) и L(ω) можно проводить раздельно, но их совмещают.

Местоположение оси L(ω) определяется частотным диапазоном (полосой пропускания) динамического звена (сист.), чтобы последний хорошо просматривался на рисунке.

Для построения φ (ω) используется эта же шкала при этом ось абсцисс совмещают с φ = -180˚, что удобно при оценке качества системы, ее устойчивости и при синтезе. С практической точки зрения положительная фаза (нарастание, сдвиг) откладывается вниз (как на рисунке) – это не догма, фаза φ (ω) откладывается в равномерном масштабе.

На оси абсцисс откладываются как ω, так и lgω.

Десятикратное изменение частоты называется декадой.

Частотой ω для конкретной точки оси абсцисс определяется через lgω → которая имеет равномерный масштаб, также как и L(ω) в отличие от А(ω) имеет равномерный масштаб. диапазоны А(ω) и ω получаются значительными.

Например. , и аналогично .

На оси абсцисс А(ω) = 1, и соответственно L(ω) = 0 дб.

Методика построения ЛАЧХ

Главным достоинством ЛЧХ является возможность построения ЛАЧХ без вычислительной работы в виде кусочно-ломаной прямой, которая называется асимптотической ЛАЧХ. Все отрезки этой ЛАЧХ имеют наклоны, кратные величине ±20 дб/дек.

Для иллюстрации простоты построения ЛАЧХ рассмотрим ряд важных примеров:

1. W(s) = K, А(ω) = K, тогда L(ω) = 20lgK – прямая, параллельная оси ω.

2. , тогда L(ω) = 20lgK – 20lgω. (20lgK = const, lgω – новая переменная)

Из этого уравнения видно, что это прямая с наклоном -20 дб/дек. Координаты (ω = 1, L(ω) = 20lgK) и (L(ω) = 0, ω = K).

Вопрос: Почему наклон -20 дб/дек?

Ответ: при ω = 1, L = 20lgK,

при ω = 10, L = 20lgK – 20,

т.е. частота увеличилась в 10 раз, а спад ЛАЧХ равен 20 дб. Отсюда и терминология – 20 дб/дек.

В принципе такую характеристику проводят через одну опорную точку, а затем находят точку на десятикратно увеличенной частоте. Обычно декада – отрезок в мм (Δ lgω = 1).

3. , , L(ω) = 20 lgK – 40 lgω. (из ).

Аналогично, это прямая с наклоном – 40 дб/дек.

4. W(s) = Ks, A(ω) = Kω, тогда L(ω) = 20 lgK + 20 lgω.

Аналогично, но наклон + 20 дб/дек.

Частота среза (А(ω) = 1) равна (из А(ω) = Kω = 1).

Предварительный вывод: Благодаря логарифмической сетке простейшие нелинейные зависимости выпрямляются (растягиваются) в прямую линию.

5. , .

Отсюда наклон прямой ±20n дб/дек, .

6. .

при и L(ω) ≈ 20 lgK;

при и L(ω) ≈ 20 lgK – 20 lg(Тω)

Это прямая с наклоном – 20 дб/дек, начиная от точки .

7. ; , .

при имеем L(ω) = 20 lgK, пренебрегаем , т.к.
;

при , тогда .

Поэтому .

Вывод: Начиная с частоты характеристика претерпевает излом на – 40 дб/дек. Если оператор находится в числителе W(s), то наклон будет +40 дб/дек.

Погрешность в т. равна:

.

Оптимальный вариант: при имеем 6 дб/дек.