Пример составления математического описания импульсной системы.

Рассмотрим более подробно математическое описание подобных систем на примере. Пусть структурная схема дискретной системы имеет вид, представленный на рис.39, а. Данная система является асинхронной. Периоды повторения первого ИЭ Т и второго кратные числа, причем T=2T₁. Формирующие звенья обоих импульсных элементов представляют собой экстраполяторы нулевого порядка. Временная диаграмма работы импульсных элементов представлена на рис.39.б.

Примем за переменные состояния координаты x1, x2. Входное воздействие u(t) будем считать непрерывной функцией. Рассмотрим временной интервал (kT, t1) и запишем дифференциальные уравнения, соответствующие переходу

Решив данную систему, получим при

Подставим найдем

Представим систему в виде

Рассмотрим далее дискретный переход

т.е.

(83)

где

.

Объединив результаты двух рассмотренных переходов, получим

или

(84)

так как для данного случая .

Рассмотрим следующий временной интервал Запишем дифференциальные уравнения, соответствующие переходу . При этом следует иметь в виду, что в момент времени t₁ срабатывает только второй ИЭ, а выходной сигнал первого ИЭ не меняется. Уравнения имеют вид

Решив данную систему, получим при

При t=(k+1)T имеем и тогда

или, переходя к матричной форме записи,

(85)

где

Дискретный переход аналогичен рассмотренному дискретному переходу , т.е.

(86)

Объединив выражения (83), (85). (86), получим

(87)

Подставляя в зависимость (87) выражение для , будем иметь

или

(88)

где

Таким образом, получена система разностных уравнений (88), определяющая связь между значениями переменных состояния на интервале основного квантования Т. Устойчивость рассматриваемой дискретной системы определяется собственными числами матрицы Ф. Полученные зависимости позволяют провести расчет переходных процессов в данной системе.

Лекция 18