Математические модели с использованием сетей Петри

Сети Петри являются эффективным инструментом дискретных процессов, в частности, функционирования станочных систем. Их особенность заключается в возможности отображения параллелизма, асинхронности и иерархичности.

На рис. 7. приводится сети Петри, где Р - конечное непустое множество позиций (состояний); Т — конечное непустое множество переходов (событий), причем и - функции входных и выходных инциденций; - начальная маркировка. Вершины сети изображены кружками, а вершины - черточками (маркерами). Дуги соответствуют функциям инцидентности позиций и переходов. Точки в кружочках означают заданную начальную маркировку. Число маркеров в позиции равно значению функции . Переход от одной маркировки к другой осуществляется срабатыванием переходов. Переход t может сработать при маркировке если он является возбужденным:

(10)

Рис. 7. Сеть Петри

Данное условие показывает, что в каждой входной позиции перехода t число маркеров не меньше веса дуги, соединяющей эту позицию с переходом. В результате срабатывания перехода t, удовлетворяющего условию (10), маркировку заменяют маркировкой по следующему правилу:

(11)

По этому правилу в результате срабатывания из всех входных позиций перехода t изымается F(p, t) маркеров и в каждую выходную позицию добавляется H(t, p) маркеров. Это означает, что маркировка непосредственно достижима из маркировки Функционирование сети Петри - последовательная смена маркировок в результате срабатывания возбужденных переходов.

Состояние сети в данный момент времени определяется ее текущей маркировкой. Важная характеристика сети Петри - граф достижимости, с помощью которого описываются возможные варианты функционирования сети. Такой граф имеет вершины, которые являются возможными маркировками. Маркировки и соединяются в направлении t дугой, помеченной символами перехода или . Маркировка такая последовательность переходов: является достижимой из маркировки если существует, что .

В качестве примера рассматривается сеть Петри, изображенная на рис. 7.

, где Р = {Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅},

. Функции F и Н заданы матрицами

Фрагмент графа достижимости для сети Петри приведен на рис. 8.

Рис. 8. Фрагмент графа достижимости сети Петри