Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування

Теорія двоїстості

1.Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування.

2. Правила побудови двоїстих задач.

3.Основні теореми двоїстості та їх економічний зміст.

4.Приклади застосування теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач.

5. Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач.

6. Аналіз розв’язків спряжених економіко-математичних задач.

7. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.

8. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.

9. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів цільової функції.

10. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів матриці обмежень

11. Аналіз коефіцієнтів цільової функції.

12. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень.

13.Практичне використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі.

Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування

Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею.

Пряма задача:

(1)

за умов:

(2)

. (3)

Необхідно визначити, яку кількість продукції кожного j- го виду необхідно виготовляти в процесі виробництва, щоб максимізувати загальну виручку від реалізації продукції підприємства. Причому відомі: наявні обсяги ресурсів – ; норми витрат і- го виду ресурсу на виробництво одиниці j- го виду продукції – , а також – ціни реалізації одиниці j- ої продукції.

Розглянемо тепер цю саму задачу з іншого погляду. Допустимо, що за певних умов доцільно продавати деяку частину чи всі наявні ресурси. Необхідно визначити ціни ресурсів. Кожному ресурсу поставимо у відповідність його оцінку . Умов­но вважатимемо, що – ціна одиниці і- го ресурсу.

На виготовлення одиниці j- го виду продукції витрачається згід­но з моделлю (1)—(3) m видів ресурсів у кількості відповідно . Оскільки ціна одиниці і- го виду ресурсу дорівнює , то загальна вартість ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j- го виду продукції, обчислюється у такий спосіб:

.

Продавати ресурси доцільно лише за умови, що виручка, отримана від продажу ресурсів, перевищує суму, яку можна було б отримати від реалізації продукції, виготовленої з тих самих обсягів ресурсів, тобто:

.

Зрозуміло, що покупці ресурсів прагнуть здійснити операцію якнайдешевше, отже, необхідно визначити мінімальні ціни одиниць кожного виду ресурсів, за яких їх продаж є доцільнішим, ніж виготовлення продукції. Загальну вартість ресурсів можна виразити формулою:

.

Отже, в результаті маємо двоїсту задачу:

(4)

за умов:

(5)

(6)

Тобто необхідно визначити, які мінімальні ціни можна встановити для одиниці кожного і- го виду ресурсу , щоб продаж ресурсів був доцільнішим, ніж виробництво продукції.

Зауважимо, що справжній зміст величин – умовні ціни, що виражають рівень «цінності» відповідного ресурсу для даного виробництва. Англійський термін «shadow prices» у літературі перекладають як «оцінка» або «тіньова, неявна ціна». Академік Л.В.Канторович назвав їх об’єктивно обумовленими оцін­ками відповідного ресурсу.

Задача (4)-(6) є двоїстою або спряженою до задачі (1)-(3), яку називають прямою (основною, початковою). Поняття двоїстості є взаємним. По суті мова йде про одну і ту ж задачу, але з різних поглядів. Дійсно, не важко переконатися, що двоїста задача до (4)-(6) збігається з початковою. Тому кожну з них можна вважати прямою, а іншу – двоїстою. Симетричність двох таких задач очевидна. Як у прямій, так і у двоїстій задачі викорис­товують один набір початкових даних: , ; . Крім того, вектор обмежень початкової задачі стає вектором коефіцієнтів цільової функції двоїстої задачі і навпаки, а рядки матриці А (матриці коефіцієнтів при змінних з обмежень прямої задачі) стають стовпцями матриці коефіцієнтів при змінних в обмеженнях двоїстої задачі. Кожному обмеженню початкової задачі відповідає змінна двоїстої і навпаки.

Початкова постановка задачі та математична модель може мати вигляд як (1)-(3), так і (4)-(6). Отже, як правило, кажуть про пару спряжених задач лінійного програмування.