Приклад економічної інтерпретації пари спряжених задач

Економічну інтерпретацію прямої та двоїстої задач і проведення післяоптимізаційного аналізу розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів.

Для виробництва n видів продукції використовується m видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями . Норми витрат кожного ресурсу на виробництво одиниці продукції становлять . Ціна реалізації одиниці продукції j -го виду дорівнює . Математична модель цієї задачі має такий вигляд:

; (17)

; (18)

. (19)

Сутність прямої задачі полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва різних видів продукції , який дав би змогу одержати найбільшу виручку від її реалізації.

Двоїста задача до сформульованої у такий спосіб прямої буде такою:

; (20)

; (21)

. (22)

Економічний зміст двоїстої задачі полягає у визначенні такої оптимальної системи оцінок ресурсів у_і, що використовуються для виробництва продукції, за якої загальна вартість усіх ресурсів була б найменшою. Змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і -го ресурсу.

Розглянемо викорис­тання двоїстих оцінок на прикладі аналізу економіко-мате­матичних моделей виду (17)-(19) та (20)-(22).

Приклад 17. Деяке підприємство виробляє чотири види продук­ції А, В, С, і D, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2 і 3. Норми витрат ресурсів на виробництво одиниці кожного виду продукції (в умовних одиницях) наведено в табл.17.

Таблиця 17

Відомі також ціни реалізації одиниці продукції кожного виду: для продукції А – 2 ум. од., для продукції В і D – по 4 ум. од., для продукції С – 3 ум. од.

Необхідно визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду за умов обмеженості запасів ресурсів, який дав би змогу підприємству отримати найбільшу виручку від реалізації продукції.

Розв’язання. Математичні моделі прямої (23) та двоїстої (24) задач мають такий вигляд:

(23)

де х_j – обсяг виробництва продукції j -го виду ;

(24)

де y_i – оцінка одиниці і -го виду ресурсу .

Симплексна таблиця, що відповідає оптимальному плану сфор­мульованої вище задачі має вигляд: