Приклад практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі

Приклад 7.1. Фірма виготовляє продукцію трьох видів: А, В і С. Потрібний певний час для обробки одиниці кожного виду продукції на різному обладнанні (табл.7.1).

Таблиця 7.1

Ціна одиниці продукції видів А, В і С дорівнює 90 дол., 110 дол. та 150 дол. відповідно. Визначити, яку продукцію і в якому обсязі слід виготовляти, щоб фірма отримувала найбільший дохід.

Розв’язавши цю задачу симплекс-методом, отримаємо таку останню симплексну таблицю:

Керівництво фірми цікавить відповідь на таке запитання: «Чи зміниться оптимальний план виробництва продукції і якщо зміниться, то яким буде новий оптимальний план у кожній з наведених нижче ситуацій?»

1. Фірма може збільшити тривалість роботи обладнання типів 2 та 3 відповідно на 100 і 80 год на місяць, орендуючи для цього додаткове обладнання, але орендна плата становитиме 5000 дол. Чи вигідно це? Якщо вигідно, то яким має бути новий оптимальний план виробництва продукції?

2. Фінансовий відділ фірми вважає, що загострення конкуренції на ринку збуту може призвести до зниження ціни на продукцію В на 25 дол. Як це позначиться на оптимальному плані вироб­ництва продукції фірми?

3. Відділ досліджень і розробок фірми пропонує виготовляти дешевшу модифікацію продукції С. Тривалість обробки одиниці цієї нової продукції на обладнанні типів 1, 2 та 3 становить відповідно 4, 3 і 1 год. Орієнтовна ціна одиниці нової продукції дорівнює 120 дол. Керівництво фірми цікавить, чи буде за таких умов виробництво нової продукції вигідним.

4. Споживач продукції виду А за певних обставин порушив попередню домовленість і відмовився прийняти більш як 100 од. продукції. Визначити, як слід змінити план виробництва своєї продукції, щоб уникнути втрат, пов’язаних із надвиробництвом цього виду продукції.

Розв’язання. Із наведеної в умові задачі симплекс-таблиці маємо: Х ^* = (180; 40; 0; 100; 0; 0), max F = 20600, Y ^* = (0; 10; 70). Оптимальним планом виробництва продукції на фірмі є випуск 180 од. продукції виду А та 40 од. продукції виду В. Виготовлення продукції виду С не передбачається. При цьому фірма отримає максимальну виручку обсягом 20 600 дол. на місяць.

1. Збільшення тривалості роботи обладнання дасть змогу збільшити випуск продукції, тобто змінити оптимальний план і дохід фірми. Оскільки D b ₁ = 0, D b ₂ = 100, D b ₃ = 80, то новий оптимальний план визначається так:

.

Новий план допустимий (всі х_j ³ 0), і тому оптимальні значення двоїстих оцінок зберігаються: Y * = (0; 10; 70). Приріст доходу фірми в результаті зміни оптимального плану виробництва продукції розраховується так:

max D Z = D b ₁ y ₁ + D b ₂ y ₂ + D b ₃ y ₃ =
= 100∙ 10 + 80∙ 70 = 6600 дол.

Оскільки дохід фірми від додаткового використання обладнання груп 2 і 3 перевищує витрати на його оренду (6600 > 5000), то природно, що така тактика фірми буде вигідною. При цьому оптимальним планом виробництва стане випуск 290 од. продукції виду А і 10 од. продукції виду В. Невикористаний час роботи обладнання типу І зменшиться до 50 год на місяць, а дохід фірми за відрахуванням витрат на оренду обладнання дорівнюватиме 20600 + (6600 – 5000) = 22200 дол. на місяць.

2. Зниження ціни одиниці продукції В на D c ₂ (–25 дол.) стосується всього оцінкового рядка симплекс-таблиці, оскільки х ₂ є базисною змінною. Нові F_j – c_j матимуть такі значення:

F ₃ – c ₃ = 10 – 1D c ₂ = 10 + 25 = 35;

F ₅ – c ₅ = 10 + 1/2D c ₂ = 10 – 12, 5 = –2, 5;

F ₆ – c ₆ = 70 – 1D c ₂ = 70 + 25 = 95.

Якби всі здобуті оцінки задовольняли умову F_j – c_j ³ 0, то це означало б, що попри зниження ціни план виробництва продукції на фірмі не зміниться. Але оцінка F ₅ – c ₅ не задовольняє умову оптимальності задачі на максимум, і тому можна висновувати, що істотне зниження ціни одиниці продукції виду В порушує визначений раніше оптимальний план виробництва продукції, оскільки випуск цієї продукції стає для фірми невигідним, нерентабельним.

Новий оптимальний план визначається у процесі подальшого розв’язання задачі симплекс-методом:

Отже, у розглянутій ситуації зниження ціни одиниці продукції виду В на 25 дол. різко змінить структуру та обсяги виробництва продукції на фірмі. Вигідним стане випуск лише продукції виду А обсягом 220 од.: при цьому можливий час роботи обладнання типів 1 та 2 використовуватиметься не повністю. Усе це призведе до зменшення виручки фірми до 19800 дол. на місяць.

3. Обсяг виробництва нової продукції в оптимальному плані позначимо через х ₇. Тоді математична модель прямої задачі матиме такий вигляд:

У математичній моделі двоїстої задачі змінній х ₇ відповідатиме таке обмеження: . Оцінимо рентабельність виробництва нової продукції за допомогою двоїстих оцінок: 4·0 + 3·10 + 1·70 = 100, що є меншим за 120. Отже, загальна вартість усіх ресурсів, що витрачаються на випуск одиниці нової продукції, не перевищує орієнтовної ціни цієї продукції, і тому її виробництво для фірми є вигідним, рентабельним. Завдяки цьому визначений раніше оптимальний план виробництва продукції можна поліпшити за рахунок уведення в нього х ₇.

Для цього за допомогою оберненої матриці необхідно визначити елементи стовпчика «х ₇» останньої симплекс-таблиці:

Результати однієї ітерації симплекс-методу, що приводить до нового оптимального плану задачі, наведено нижче.

Отже, оптимальним планом є Х ^* = (160; 20; 0; 0; 0; 0; 40), а max Z = 21 400. Керівництво фірми має підтримати пропозицію відділу досліджень та розробок і налагодити виробництво нової продукції, яка є рентабельною. Виготовляючи її обсягом 40 од., а також продукцію видів А та В обсягом 160 і 20 од. відповідно, фірма зможе збільшити обсяг виручки до 21400 дол. на місяць згідно з новим оптимальним планом виробництва продукції.

4. Четверта запропонована ситуація математично пов’язана із введенням в умову задачі додаткового обмеження, що може привести до таких наслідків:

а) нове обмеження для визначеного оптимального плану виконується. Тоді воно є надлишковим, зайвим і його включення до моделі не змінює визначеного плану;

б) нове обмеження для визначеного оптимального плану не виконується, і тоді за допомогою двоїстого симплекс-методу необхідно знайти новий оптимальний план.

За умовою задачі додатковим є обмеження х ₁ < 100. Але воно суперечить оптимальному обсягу продукції виду А, що дорівнює 180 од. Тому необхідно приєднати це додаткове обмеження до симплекс-таблиці та продовжити розв’язання задачі, але вже за допомогою двоїстого симплекс-методу. Для цього спочатку зведемо додаткове обмеження до канонічного вигляду:

х ₁ + х ₇ = 100.

Оскільки в оптимальному плані змінна х ₁ є базисною, то її необхідно записати через небазисні невідомі. Це робиться так. У симплекс-таблиці, яку наведено в умові задачі, рядок змінної «х ₁» подається рівнянням:

1· х ₁ + 0· х ₂ + 3· х ₃ + 0· х ₄ – 1/2· х ₅ + 2· х ₆ = 180.

З нього запишемо вираз для х ₁:

х ₁ = 180 – 3 х ₃ + 1/2 х ₅ – 2 х ₆.

Підставивши цей вираз в додаткове обмеження, отримаємо:

180 – 3 х ₃ + 1/2 х ₅ – 2 х ₆ + х ₇ = 100

або

– 3 х ₃ + 1/2 х ₅ – 2 х ₆ + х ₇ = – 80.

У такому вигляді додаткове обмеження допишемо в симплекс-таблицю. Застосування двоїстого симплекс-методу приведе до нового оптимального плану задачі.

В останній таблиці маємо: Х ^* = (100; 200/3; 80/3; 20; 0; 0), а max Z = 61000/3» 20333.

Проаналізуємо цей план. Прийнявши до уваги ситуацію, що склалася, керівництво фірми змушене змінити структуру виробництва продукції. Тепер з урахуванням вимог споживача фірма виготовлятиме 100 од. продукції виду А, 200/3 од. продукції виду В і 80/3 од. продукції виду С. У результаті такого плану випуску продукції виручка фірми дещо зменшиться (до 20333 дол. на місяць).