Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів

За допомогою двоїстих оцінок можна також визначити статус кожного ресурсу. Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо деяке значення двоїстої оцінки у_і в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і -й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка у_і > 0, то і -й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Відомо (третя теорема двоїстості), що величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший – підстановкою значень вектора Х * (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у іншому разі – недефіцитний:

Другий спосіб – через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля – недефіцитний.

Третій спосіб – за допомогою двоїстих оцінок. Якщо у_і > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і -го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж у_і = 0, то і -й ресурс недефіцитний. Так, у нашому прикладі:

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b ₁ = 250 + 1 = 251), то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на у ₁ = 1/2 ум. од. і становитиме max Z = 285, 5 ум. од.

Цікавим є запитання: «За рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід підприємства?» Інформацію про це дають елементи стовпчика «х ₅» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці даного ресурсу – у ₁ = 1/2.

Допустимо, що деяке k -те обмеження () має в правій час­тині початкове значення – . Нехай початкова величина змінилась на величину . Якщо в початковій задачі значення першого ресурсу зросте на одиницю ( =1), то згідно з останньою симплексною таблицею

отримаємо:

У новому оптимальному плані значення базисної змінної збільшиться на 1/2, а змінних та – зменшиться відповідно на одиницю та 1/2. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення будуть такими:

Х ^* = (0; 0; 34, 5; 45, 5; 0; 29; 0).

Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов уможливлює зростання випуску продукції D за рахунок зменшення виробництва продукції С. За таких умов обсяг використання недефіцитного другого ресурсу також збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства

max Z = 2× 0 + 4× 0 + 3× 34, 5 + 4× 45, 5 = 285, 5,

тобто зросте на у ₁ = 1/2.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю (b ₃ = 80 + 1 = 81). Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х ₇» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці у ₃=2, можна записати новий оптимальний план:

Х ^* = (0; 0; 37; 44; 0; 30; 0).

max Z = 2× 0 + 4× 0 + 3× 37 + 4× 44 = 287.

Отже, виручка підприємства збільшиться на дві умовні одиниці за рахунок збільшення виробництва продукції С на дві одиниці та зменшення випуску продукції D на одну одиницю. За таких обставин обсяг використання ресурсу 2 не змінюється.

Але після проведеного аналізу постає логічне запитання: Оскільки збільшення третього ресурсу на одиницю приводить до найбільшого підвищення значення функціонала, то чи можна збільшити третій дефіцитний ресурс на 50, 100 і т.д. ум. од., тим самим значно збільшуючи виручку підприємства?

Відомо, що для однозначної відповіді на це запитання, необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки у_і залишаються на рівні оптимальних значень, тобто розв’язати систему нерівностей

Якщо приріст (зміну) запасу першого ресурсу позначимо через D b ₁, тоді симплексні таблиці даної задачі набудуть вигляду:

Новий оптимальний план можна записати у такий спосіб:

Х ^* = (0; 0; 35–1/2D b ₁; 45 + 1/2D b ₁; 0; 30 – D b ₁; 0).

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності змінних, тобто:

Отже,

.

Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 30 ум.од. або зменшиться на 90 ум. од., то на цьому інтервалі його оптимальна двоїста оцінка залишиться такою ж: у ₁=1/2. Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах:

.

Згідно з цим максимально можливі зміни обсягів виручки підприємства залежно від змін у постачанні ресурсу 1 на такому інтервалі будуть у межах:

,

,

а відповідні критичним значенням діапазону виручки оптимальні плани виробництва продукції будуть такими:

(0; 0; 80; 0; 0; 120; 0) = Х ^* = (0; 0; 20; 60; 0; 0; 0).

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки у ₃ = 2 для дефіцитного ресурсу 3:

,

.

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 45 ум.од. або змен­шиться на 17, 5 ум.од., то двоїста оцінка у ₃=2 цього ресурсу залишиться такою ж. Згідно із цим можлива виручка підприємства та оптимальний план виробництва продукції будуть знаходитися у межах:

;

(0; 0; 0; 62, 5; 0; 30; 0) = Х * = (0; 0; 125; 0; 0; 30; 0).

Для розрахунку інтервалу зміни недефіцитного ресурсу досить розв’язати одну нерівність

.

У нашому прикладі недефіцитним є другий ресурс. Відомо, що за оптимального плану виробництва буде залишок цього ресурсу в обсязі ум. од. Отже, зменшення даного ресурсу в обсязі до 30 ум. од. не змінить структуру оптимального плану. Якщо зміну загального запасу другого ресурсу позначити через , то інтервал можливої зміни його обсягів можна записати так:

.

Отже, інтервалом зміни запасів недефіцитного ресурсу, в межах якого структура оптимального плану залишиться постійною, буде:

.

Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише тих випадків, коли змінюється обсяг тільки одного ресурсу, а запаси всіх інших фіксовані, тобто за інших однакових умов. У разі одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів для визначення інтервалів допустимих змін необхідно розв’язати систему нерівностей

, .

Простішою для дослідження є ситуація, коли зміни ресурсів відомі і необхідно визначити лише новий оптимальний план. Нехай додатковою умовою прикладу 17 є зміна обсягів усіх трьох ресурсів, що змінюються відповідно так: D b ₁= + 10, D b ₂ = – 10, D b ₃ = + 20. Для визначення компонент нового оптимального плану скористаємось одним із головних співвідношень обчислювальної процедури симплекс-методу. З першої теореми двоїстості відомо, що:

.

З останньої симплекс-таблиці отримуємо обернену матрицю:

.

Змінені запаси ресурсів утворюють вектор

.

Тоді новий оптимальний план виробництва продукції за відповідної одночасної зміни запасів усіх трьох ресурсів

,

тобто Х ^* = (0; 0; 70; 30; 0; 10; 0).

Усі х_j ³ 0, і тому оптимальним планом двоїстої задачі залишається Y * = (1/2; 0; 2). Загальна максимальна виручка підприємства зміниться на

D F _max = D b ₁ y ₁ + D b ₂ y ₂ + D b ₃ y ₃ = 10·1/2 – 10·0 + 20·2 = +45 ум. од.

і становитиме:

max F = 285 + 45 = 330 ум. од.

Використовуючи , проведемо дослідження можливого взаємозамінювання ресурсів.

Якщо у виробничій системі існує два чи більше дефіцитних ресурсів, то певний обсяг одного з них може бути замінений деяким обсягом іншого, причому значення цільової функції залишиться незмінним.

Для умов прикладу 17 попередній аналіз двоїстих оцінок показав, що дефіцитними є перший та третій ресурси. Припустимо, що забезпечення виробництва необхідним обсягом третього ресурсу можливе не завжди. У такому разі доцільним є визначення того, яким обсягом першого ресурсу можна замінити третій, щоб водночас не зменшилась оптимальна сума виручки.

Оскільки , де – величини змін дефіцитних ресурсів, а – двоїсті оцінки відповідних ресурсів, то зміна обсягу третього ресурсу на одиницю потребує додаткового використання ум. од. першого ресурсу.

Отже, якщо перший ресурс збільшити на 4ум.од. і використовувати в обсязі 284ум.од., а третій зменшити на 1ум.од. і залишити у виробництві 79ум.од., то обсяг виручки від реалізації продукції залишиться незмінним у порівнянні з початковими умовами прикладу 17 – 285 ум.од.

Під впливом різних обставин ціна виробленої на підприємстві одиниці продукції може змінюватися (збільшуватися чи зменшуватися). І тому завжди цікаво і важливо знати, у межах яких змін цін на продукцію кожного виду структура оптимального плану виробництва ще може залишатися такою самою, тобто оптимальною (найкращою) навіть за цих певних змін.

Перетворення симплексної таблиці за змін коефіцієнтів цільової функції стосуються лише елементів оцінкового рядка. Дослідимо питання зміни коефіцієнтів цільової функції для прикладу 17. Нехай змінюється ціна на одиницю продукції виду С, тобто початкове значення 3 ум.од. подамо як , де – величина зміни ціни одиниці продукції виду С. Тоді симплексні перетворення матимуть вигляд:

Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком елементів стовпчика «С _баз» що, у свою чергу, впливає на значення всіх ненульових оцінок (Z_j – c_j). Для базисної змінної х ₃ зміна коефіцієнта цільової функції на D c ₃ приведе до таких оцінок:

(F ₁– c ₁) = 4 × (–2) + 0 × (–1) +(3 + D c ₃)× 5 – 2 = 5 + 5D c ₃;

(F ₂– c ₂) = 4 × 1/2 + 0 × 1 + (3 + Dc₃)× 3/2 – 4 = 5/2 + 3/2D c ₃;

(F ₅– c ₅) = 4 × 1/2 + 0 × (–1)+ (3 + D c ₃) · (– 1/2)– 0 = 1/2 – 1/2D c ₃;

(F ₇– c ₇) = 4 × (–1) + 0 × 0 + (3 + D c ₃) · 2 – 0 = 2 + 2D c ₃.

Враховуючи умову , нові значення оцінок мають задовольняти умову оптимальності, тобто Z_j – c_j ³ 0. Тому інтервал для D c ₃ визначається з такої системи нерівностей:

;

.

Отже, ціна одиниці продукції виду С може збільшуватися чи змен­шуватися на 1ум.од. і бути в межах від 2 до 4ум.од., але оптимальним планом виробництва продукції залишається Х ^* = (0; 0; 35; 45).

Для базисної невідомої х ₄ інтервал зміни коефіцієнта с ₄ розраховується аналогічно:

;

.

Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції D змен­шиться до 3ум.од. або збільшиться до 6ум.од., то визначений оптимальний план виробництва продукції на підприємстві (Х * = (0; 0; 35; 45)) немає необхідності змінювати.

Розрахунок інтервалів зміни значень коефіцієнтів цільової функції для небазисних змінних виконується згідно із співвідношенням

.

Симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком ненульових значень оцінкового рядка (Z_j – c_j). Нові оцінки (Z_j – c_j) мають задовольняти умову оптимальності задачі максимізації цільової функції, тобто бути невід’ємними.

Зміну коефіцієнта с ₁ позначимо через D с ₁. Оскільки х ₁ – небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна їй оцінка Z ₁ – c ₁:

(Z ₁ – c ₁) = 4× (–2) + 0× (–1) +3× 5 – (2 + D c ₁) = 5 – D c ₁.

За умови Z ₁– c ₁ ³ 0 дістанемо нерівність 5–D c ₁ ³ 0, тобто D c ₁ ≤ 5. Це означає, що коли ціна одиниці продукції виду А за інших однакових умов зросте не більш як на 5ум.од., то оптимальним планом виробництва продукції на підприємстві все одно залишиться Х ^* = (0; 0; 35; 45). Лише максимальна виручка зміниться на max D Z = D c ₁ х ₁.

Аналогічно розраховується інтервал зміни коефіцієнта D c ₂:

(Z ₂ – c ₂) = 5/2 – D c ₂ ≥ 0; D c ₂ ≤ 5/2.

Зі зростанням ціни одиниці продукції виду В не більш як на 5/2 ум.од. за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, а max Z = D c ₂ x ₂.

Якщо ж коливання ціни продукції вийдуть за визначені межі, то план Х = (0; 0; 35; 45) вже не буде оптимальним, і його необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу, тобто продовжити розв’язання задачі.