Примеры. 1. Получение графика функции y=ax из графика функции y=еx

1. Получение графика функции y=a^x из графика функции y=е^x. Воспользуемся формулой определения натурального логарифма: . Из нее следует, что: y=a^x=е^xlna, и, следовательно, график функции y=a^x получается из графика функции y=е^x сжатием к оси Y вдоль оси Х с коэффициентом lna (рис. 19а).

2. Получение графика функции y=log_ax из графика функции y=lnx. В силу того, что , получаем, что график функции y=log_ax получается из графика функции y=lnx сжатием к оси X вдоль оси Y в lna раз (рис. 19б).

3. Уравнение цепной линии (гиперболического косинуса) часто пишут в форме: .

Для того чтобы получить этот график, надо растянуть график y=chx по осям Х и Y в а раз. Или изменить на обеих осях масштаб – не меняя графика, заменить числовые значения, проставив вместо 1 а вместо 2 2 а и т.д.На рисунке 19в вместо значений 1 на осях Х и Y проставлены значения а и а, это и есть график функции .

3. Поворот. Повернем оси ОХ и OY на угол a (рис. 15а). Тогда координаты (x, y) всех точек плоскости будут связаны с новыми координатами (u, v) следующими формулами преобразования координат:

x=ucosa-vsina,

y=usina+vcosa,

а значения новых координат можно вычислить по значениям старых координат по формулам:

u=xcosa+ysina,

v=-xsina+ycosa.

Например, для поворота на 90° cos90°=0, sin90°=1, и поворот приводит к тому, что оси ОХ будет соответствовать ось OV (но в обратном направлении), то есть x=-v, оси ОY будет соответствовать ось OU, то есть y=u (рис. 15б).

Повороту на угол a=45° соответствует преобразование:

При повороте сохраняются длины отрезков и углы между прямыми, форма графика сохраняется, но уравнение меняется очень сильно.

Пример

Уравнение гиперболы имеет вид: или xy =1. В системе координат (u, v), полученной поворотом на 45º, уравнение гиперболы имеет вид: u²-v²=2.