Гипербола

Построим график гиперболы (или ху=k) с помощью растяжения вдоль оси Y графика гиперболы , затем повернем оси координат на 45° (рис.1). При замене координат уравнение ху=k обратится в уравнение (u-v)(u+v)=2k или u²-v²=2k. Вернемся к привычным для абсциссы и ординаты обозначениям: х²-у²=2k. Таким образом, кривая
х²-у²=2k – это повернутая на 45° гипербола . Гипербола, в уравнении которой при переменных х и у коэффициенты одинаковые, называется равнобочной.

В общем случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: . Такое уравнение получается из уравнения или , если выполнить сжатие вдоль оси Y к оси Х с коэффициентом a/b. Гипербола определяется, как геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а. Изобразить гиперболу на плоскости можно так: построим характеристический прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами длины 2 а и 2 b. Прямые, проходящие через диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. С ростом x и y гипербола стремится приблизиться к асимптотам, но никогда их не пересекает. Гипербола пересекает ось X в точках, которые находятся на расстоянии а от начала координат. Эти точки называются вершинами гиперболы (точки А и В).

Уравнения асимптот: .

Прямая, на которой лежат фокусы, называется вещественной осью. Число а называют вещественной полуосью, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Фокусами гиперболы служат точки F₁ и F₂ с координатами (- c, 0) и (c, 0), соответственно. Фокусное расстояние c вычисляется по значениям полуосей гиперболы по формуле:

Отношение , оно называется эксцентриситетом гиперболы.

На рисунке 2б показано построение опорных точек М₁ и М₂ гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусам F₁ и F₂ гиперболы. Правило построения: R₂-R₁=2 a.