Элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие функции.

1. Степенные функции: у=х^a, где a - действительное число.

Ее поведение очень сильно зависит от значения a.

а) a=0, y=const (рис. 5а)

б) aÎ N (натуральное, т.е. целое положительное), функция определена на всей числовой оси. На рисунках. 5б, в, г приведены графики функций у=х^a для целых положительных значений a=1, a=2, a=3.

в) a - целое отрицательное число; функция определена при всех значениях х¹ 0 (рис. 6а)

г) a - дробное (на рис. 6б, в даны графики степенных функций при a=1/2 и a=1/3).

2. Показательная функция: у= а ^х определена для всех х и положительна. При а > 1 она монотонно возрастает, при 0< a < 1 монотонно убывает (рис 7а, б). Для любого а у(0)=а⁰=1

3. Логарифмическая функция: y=log _a x определена для всех x> 0. Число а называется основанием логарифма (a > 0, a ¹ 1). Напомним, определение логарифма: и формулу перехода от одного основания к другому: log _a X=log_bX× log _a b=log_bX: log_b a. Его основные свойства: log ab =log a +log b, , log a ^m= m log a,

На практике часто используются логарифмы по основанию 10. Для них принята сокращенная запись lg. При а > 1функция монотонно возрастает, при 0< a < 1 монотонно убывает (рис 7в, г). log _a 1=0 при любом основании а

В математике особую роль играют показательная и логарифмическая функция с основанием а=е. Число е – иррациональное число. Его можно записать в виде бесконечной непериодической дроби е =2, 71828182845… Логарифм по основанию а=е называют натуральным и записывают обычно в виде y=lnx. Показательную функцию y=e^x называют экспоненциальной функцией, иногда ее записывают так: у= ехр х. Заметим, что a^x=e^{xln a} (в силу того, что по определению логарифма a=e^{ln a} ).

Кроме названия функции, указания операций (+, -, ×,:) и основных величин, обозначаемых через x, y, z, …, в формулу могут входить константы и параметры – константы, значения которых не заданы. Их обычно обозначают латинскими буквами a, b, c, … Например, для функций а^х и log_ax a – это параметр.

4. Тригонометрические функции: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Аргументом является угол в радианах.

Функции y=sinx, y=cosx определены при всех значениях х, функция y=tgx определена на всей числовой оси, кроме точек: x=(2k+1)p/2, (k=0, ±1, ±2, …), функция y=ctgx определена на всей числовой оси, кроме точек: x=kp (k=0, ±1, ±2, …) (рис. 8)

5. Обратные тригонометрические функции: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Эти функции являются обратными к тригонометрическим. Функция y=arcsinx определяется следующим образом: по заданному значению sinx=с, определяется у – угол в радианах, синус которого равен заданному значению с ( задана хорда, найти длину дуги ). Функция y=arccosx определяется так: по заданному значению cosx=с, определяется у – угол в радианах, косинус которого равен заданному значению с. Функция y=arctgx: задано значение tgx=с, у – величина угла, тангенс которого равен заданному значению с. Функция y=arcctgx: задано значение ctgx=с, у – величина угла, котангенс которого равен заданному значению с. Обратная функция определяется на интервале, на котором любое ее значение принимается только один раз. При определении функции, обратной к данной, значения функции и аргумента меняются ролями. Проще всего это понять, если задана таблица функции - по значению аргумента таблица позволяет определить значение функции. Эта же таблица может использоваться, как таблица обратной функции. Но тогда ею надо пользоваться по-другому. Среди значений функции надо отыскать значение, самое близкое к тому, которое задано, и в качестве ответа взять из таблицы аргумент, которому соответствует это значение функции. Например, при расчете угла наклона боковой грани египетской пирамиды j, было получено, что tgj=1, 35. В Таблице значений тригонометрических функций Приложения находим, что такое значение тангенса соответствует углу, равному примерно 53, 5°.

Взаимно обратными являются и рассмотренные нами ранее функции:

показательная у=а^х и логарифмическая y=log_ax, степенная у=х^a и при разных значениях a, например, у=х² и .

Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций подстановки (" взятие функции от функции"), называются элементарными функциями. Например, - элементарные функции.