Декартова система координат в трехмерном пространстве

Можно построить прямоугольную систему координат в пространстве. Прямоугольную систему координат в пространстве образуют три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z, проходящие через некоторую точку О. Точка О играет роль начала координат. На всех трех прямых должен быть определен масштаб.

Ось X и ось Y, как и в случае прямоугольной системы координат на плоскости, называются осью абсцисс и осью ординат. Ось Z называется осью аппликат.

Положение любой точки М в пространстве задается тремя числами – координатами x, y и z. Они определяются следующим образом. Из точки М опустим перпендикуляры на ось Z и на плоскость XOY (точка D); из точки D опустим перпендикуляры на оси Х и Y. Длины отрезков, соединяющих точку О с основаниями 3-х перпендикуляров, и есть соответственно координаты x, y и z точки М (рис. 11а). Вообще говоря, можно применять как правую (рис. 11а), так и левую (рис. 11б) систему координат. Правая система координат соответствует правилу " правой руки" (большой палец вдоль оси Z, указательный – вдоль оси X, третий – вдоль оси Y), а левая система – правилу " левой руки". Обычно используется правая система (рис. 11а).

В черчении приняты некоторые стандарты изображения 3-х перпендикулярных друг другу прямых (под какими углами их рисовать). Для математических осей координат принято свободное изображение, как на рисунке 11а.

Расстояние R между двумя точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂y₂, z₂) в 3-хмерной прямоугольной системе координат согласно теореме Пифагора равно:

, где

Например, геометрическое место точек, расстояние от которых до начала координат равно R (шар радиуса R): x²+y²+z²=R².

Пример

Найти длину диагонали единичного куба.

Решение:

Введем декартову систему координат, единица масштаба которой совпадает с величиной стороны куба. Вершины куба будут иметь координаты: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1). Рассмотрим диагональ куба, начальной точкой которой является точка с координатами (0, 0, 0), а конечной точка (1, 1, 1). Длина всех диагоналей куба одинакова и равна длине этой диагонали, а ее длина равна: | |=