Уравнение логарифмической спирали

Опорные точки логарифмической спирали мы строили по следующему алгоритму – при повороте радиуса-вектора на угол Δ φ его длину мы увеличивали в t раз, при повороте на 2Δ φ в t² раз, при повороте на 3Δ φ в t³ раз и т.д. Т.е. мы исходили из того, что логарифм длины радиуса-вектора является линейной функцией величины поворота φ. Такую зависимость описывает уравнение вида r=bq^j (logr=c+φ logq=c+kφ). Это и есть уравнение логарифмической спирали в полярных координатах. Оно демонстрирует, что какой бы первоначальный угол a мы ни взяли, в силу формулы q^a+b=q^a× q^b увеличению угла на значение b соответствует увеличение длины радиуса-вектора в q^b раз.

Математики обычно пишут уравнение r=bq^j в виде: r=be^kj. Для того, чтобы представить уравнение r=bq^j в форме r=be^kj, воспользуемся формулой определения логарифма: . Тем самым, и, следовательно: , где k=lnq. При приращении угла j на величину D длина радиуса-вектора увеличивается в t=q^D=e^kD раз, при увеличении на 2D в q^2D=e^k2D=t² раз и т.д. Логарифм длины радиуса-вектора с ростом угла поворота j растет линейно. Логарифмическая спираль пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одним и тем же углом a (k=ctga). Из-за этого ее еще называют равноугольной спиралью (это ее свойство доказывается с помощью предельного перехода при n®¥, где n - число частей, на которые делится окружность, из подобия всех треугольников, получающихся, если соединить отрезками соседние опорные точки; при таком переходе хорды стремятся к касательным). В качестве примера логарифмической спирали рассмотрим спираль раковины Nautilus (рис. 10б). Ее уравнение мы выведем, исходя из того условия, что при повороте на угол p/2 длина радиуса-вектора увеличивается в раз (параметр а - это длина радиуса-вектора при j=0, для простоты можем принять его равным 1). Легко видеть, что уравнение спирали можно написать в виде: . Из этого уравнения видно, что приращению угла на p/4 соответствует увеличение длины радиуса-вектора в раз, а приращению угла на p/8 соответствует увеличение длины радиуса-вектора в раз (чтобы вычислить эти значения, надо нажать на калькуляторе на кнопку 2 и 3 раза, соответственно). И для того, чтобы построить график спирали Nautilus по 16 опорным точкам, достаточно поделить окружность на 16 частей, вычислить с помощью калькулятора 16 членов геометрической прогрессии со знаменателем :

1, , , × , , …, Ф² и последовательно отметить на 1-ом, 2-ом, 3-ьем и т.д. радиусах соответствующие длины. Из уравнения видно, что опорные точки А₁, А₂, …, А₇, по которым мы строили чертеж спирали, делят диаметры в золотой пропорции - А₃О: А₁О=А₄О: А₂О=…=Ф: 1 и что это же верно и для всех вообще диаметров раковины Nautilus. Кроме того, виток спирали разбивает диаметр в золотой пропорции: А₅А₃: А₃А₁=(Ф²+Ф): (1+Ф)=Ф, аналогично А₆А₄: А₄А₂= (Ф²+Ф): (1+Ф)=Ф и из уравнения спирали следует, что для произвольного диаметра АС: АС: ВС=Ф

Вспомним сетку, построенную с помощью деления круга на 16 частей и окружностей, радиусы которых образуют геометрическую прогрессию с множителем q≈ 0, 607. Такая сетка, как было показано, с неплохой точностью обеспечивает сохранение подобия. Так как радиусы окружностей - убывающие геометрические прогрессии, сетка задает опорные точки для дуг логарифмической спирали.