Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если известно, что событие может произойти вместе с одним из событий (гипотез), образующими полную группу событий, то вероятность события равна

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 17. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна наудачу взятая болванка не имеет дефектов.

Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},

={материал из 1-го цеха},

={материал из 2-го цеха}.

Тогда по условию = 0, 7, = 1 - 0, 1 = 0, 9;

= 0, 3, = 1 - 0, 2 = 0, 8.

Значит, по формуле полной вероятности получаем:

= 0, 7 × 0, 9 + 0, 3 × 0, 8 = 0, 87.

Ответ: 0, 87.

Условная вероятность события в предположении, что событие уже произошло, определяется по формуле Байеса:

,

где вычисляют по формуле полной вероятности.

Пример 18. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что наудачу взятая не имеющая дефектов болванка из первого цеха.

Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},

={материал из 1-го цеха},

={материал из 2-го цеха}.

Тогда по условию = 0, 7, = 1 - 0, 1 = 0, 9;

= 0, 3, = 1 - 0, 2 = 0, 8.

И значит, по формуле Байеса проверим первую гипотезу: , где вычислили в примере 17.

Ответ: 0, 724.