Повторные испытания. Формула Бернулли

Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одна и та же и равна (), то вероятность того, что событие появится в этих испытаниях ровно раз можно вычислить по формуле Бернулли:

, где .

Пример 19. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна . Найти вероятность выиграть по двум билетам из пяти.

Решение. По условию = , значит = ; = 5, = 2. Тогда по формуле Бернулли получаем

P₅(2) = = = 0, 1285.

Ответ: 0, 1285.

Замечание: если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.

Тема 2. Элементы математической статистики

Основные понятия и определения

Современная статистика разрабатывает планирование эксперимента, занимается последующим анализом и др. Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, то на практике не изучают каждый элемент, а случайно отбирают ограниченное число объектов и изучают их.

Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объем совокупности – это число объектов этой совокупности.

Наиболее удобно выборку записывать в виде таблицы:

		…
		…

где наблюдаемые значения называются вариантами (каждое из наблюдалось раз), а указанная последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом, – частоты.

Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборки

,

где – объем выборки.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :

,

где – объем выборки.

Выборочное среднее квадратическое отклонение .

Исправленная дисперсия .

Исправленное среднее квадратическое отклонение .

Аналогично теории вероятностей справедлива теорема о формуле для подсчета дисперсии.

Теорема: , где вычисляют по формуле:

.

Для упрощения счета числовых характеристик можно воспользоваться следующими формулами:

, , , , , где с – варианта, имеющая максимальную частоту, h – шаг таблицы, т.е. интервал между соседними вариантами.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

При этом если , то ,

если , то .

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки , , …, , где – варианты выборки, – соответствующие частоты.

Пример 20. По данной выборке решить следующие подзадачи:

1. Получить статистическое распределение выборки;

2. Найти среднюю арифметическую , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

3. Найти моду и медиану .

Решение. Составим вариационный ряд:

Объем выборки равен: .

Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

.

Дисперсия : .

Среднеквадратичное отклонение : .

Мода: . Медиана: .