Построение теоретического закона распределения

Для построения теоретического закона распределения совместно с гистограммой и проверки согласия по критерию хи-квадрат Пирсона надо заполнить таблицу, знакомую по лекции (см. ниже по тексту, таблица №1). Для построения этой таблицы надо воспользоваться таблицей карман – частота процедуры Гистограмма.

x_i – границы интервалов группировки (карманы – получены как результат выполнения процедуры Гистограмма);

m_i – количество элементов выборки, попавших в i –ый интервал (частота – получена в результате процедуры Гистограмма);

Таблица №1

xi	mi	n∙ pi
карманы	частота	теоретическая частота	статистика U
x1	m1	n∙ p1
x2	m2	n∙ p2
…	…	…	…
xk	mk	n∙ pk

Для построения этой таблицы в Excel к столбцам карман – частота процедуры Гистограмма надо добавить столбцы n∙ p_i и

Теоретическая вероятность p_i попадания элементов выборки в i- ый интервал группировки для принятой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности равна p_i = P(x_i-1 < X < x_i) = F(x_i) – F(x_i-1).

n∙ p_i – теоретическая (ожидаемая) частота попадания элементов выборки в i –ый интервал группировки для принятой гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

В Excel эту величину можно вычислить, воспользовавшись функцией НОРМРАСП.

n∙ p_i = (НОРМРАСП(x_i; среднее; стандартное_откл; 1) –

– НОРМРАСП(x_i-1; среднее; стандартное_откл; 1)) * n.

– статистика, являющаяся мерой расхождения между значениями эмпирической и теоретической плотности распределения;

4.1. Найдите сумму элементов выборки, попавших в карманы (n = 100), для контроля (ячейка D29, рис. 8).

Столбцу E18: E28 присвойте имя n∙ p_i, поместив его в ячейку E17.

В ячейку E18 внесите формулу для вычисления значения функции нормального распределения F (x₁ = 10, 544) = P (– ∞ < X ≤ x₁), умноженную на число наблюдений n. В рассматриваемом примере n =100. В ячейку E18 будет получено теоретическое (ожидаемое) число значений случайной величины, попавших в интервал , n∙ p_i = F (x₁)∙ 100

=НОРМРАСП(C$18$; D$3$; D$7$; 1)*100

Рис. 8. В ячейке E18 результаты вычислений функции НОРМРАСП(C$18$; D$3$; D$7$; 1)*100

Функцию НОРМРАСП вызывается следующим образом. В главном меню Excel выбирается закладка Формулы → Вставить функцию → в диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 в категории Статистические → НОРМРАСП. ОК.

Рис. 9. Окно Мастер функций для выбора функции НОРМРАСП из категории Статистические.

В раскрывшемся окне Аргументы функции НОРМРАСП заполните поля ввода как показано далее на рис. 10.

Рис. 10. Окно ввода параметров для получения функции нормального распределения

В поле X введите адрес ячейки, в которой находится граница первого интервала группировки C18 (верхняя ячейка столбца Карманы).

В поле Среднее введите адрес ячейки, в которой находится среднее значение выборки, полученное при выполнении процедуры Описательная статистика – D3.

В поле Стандартное_откл введите адрес ячейки, в которой находится значение стандартного отклонения выборки, полученное при выполнении процедуры Описательная статистика – D7.

В поле Интегральная введите единица 1. Единица в поле Интегральная означает вычисление функции распределения F(x). ОК.

В ячейку E19 поместите формулу для вычисления теоретического (гипотетического) числа случайных величин, попавших в интервал :

n∙ p₂ = n ∙ [ F (x₂) – F (x₁)] = n ∙ [ P (x₁ < X ≤ x₂)] = n ∙ [ P (10, 544 < X ≤ 11, 5777)],

где p₂ = F (x₂) – F (x₁) = P (x₁ < X ≤ x₂) = P (10, 544 < X ≤ 11, 5777) - теоретическая вероятность попадания нормально распределенных случайных величин в промежуток .

В Excel в строку формул необходимо поместить формулу:

=(НОРМРАСП(C19; $D$3; $D$7; 1) – НОРМРАСП(C18; $D$3; $D$7; 1))*100

Рис. 11. В ячейке E19 показаны результаты вычислений функции

=(НОРМРАСП(C19; $D$3; $D$7; 1) – НОРМРАСП(C18; $D$3; $D$7; 1)) *100

Заполните диапазон ячеек Е20: Е27 результатами вычисления этой формулы, используя маркер заполнения.

Рис. 12. Столбец E19; E27 с результатами вычисления функции

n∙ p_i = (НОРМРАСП(C32; $D$3; $D$7; 1) – НОРМРАСП(C31; $D$3; $D$7; 1)) *100

В ячейку E28 поместите формулу для вычисления теоретического (гипотетического) числа случайных величин, попавших в промежуток (x₁₀; ∞):

P (x₁₀ < x < ∞) = 1 – P (– ∞ < x ≤ x₁₀) = 1 – F (x₁₀) – вероятность попадания нормально распределенных случайных величин в промежуток (x₁₀; ∞).

В Excel в строку формул необходимо поместить формулу:

=(1 – НОРМРАСП(C27; D3; D7; 1))*100

Для этого сначала необходимо вызвать функции НОРМРАСП и заполнить поля ввода

Рис. 13. Диалоговое окно функции НОРМРАСП с заполненными полями ввода

Рис. 14. Столбец n∙ p_i (E18; E28) содержит результаты вычисления теоретических значений числа случайных величин попавших в каждый частичный интервал (карман) n∙ p_i

Для проверки правильности вычислений просуммируйте числа в ячейках столбца E18: E28.

В ячейке Е29 показана сумма содержимого ячеек Е31: Е40. Она должна быть равна n = 100.

Рис. 15. Таблицы распределения эмпирических частот m_i – столбец Частота и теоретических частот np_i – столбец n∙ p_i

4.2. В графике Гистограмма частот добавьте кривую нормального распределения, как это вы умеете.

Рис. 16. Графики гистограммы эмпирических и теоретических частот, позволяющие по виду графиков выбрать в качестве гипотезы H₀ нормальное распределение.

Для того чтобы сохранить графики гистограммы эмпирических и теоретических частот (рис. 16) необходимо скопировать таблицу на рис. 15 Карман – Частота – n∙ p_i в другое место таблицы.

4.3. Скопируйте таблицу Карман – Частота – n∙ p_i в свободные ячейки листа Excel, для чего, верхний левый угол копии разместите в ячейке C30, как показано далее на рис. 8.

Рис. 17. Фрагмент листа Excel с копией таблицы распределения эмпирических и теоретических частот по карманам