Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Закон ассоциативности.
|
|
Название этому закону дало латинское слово associatio (соединение). Суть закона ассоциативности состоит в том, что при осуществлении двух одинаковых операций над тремя высказываниями можно соединить (ассоциировать) первое и второе высказывание, выполнить операцию над ними, а затем осуществить эту же операцию над полученным результатом и третьим высказыванием. Но можно изменить порядок действий: соединить второе и третье высказывание, осуществить над ними операцию, а затем осуществить эту же операцию над полученным результатом и первым высказыванием.
Ассоциативность присуща связкам & и Ú:
|= (А & В) & С º А & (В & С); |= (А Ú В) Ú С º А Ú (В Ú С).
4. Закон дистрибутивности.
Название этого закона происходит от латинского distributio (размещение, распределение). Из формулы закона видно, что он устанавливает распределение, размещение первого высказывания относительно второго и третьего. Результаты подобного размещения соединяются с помощью дизъюнкции (Ú).
Существует два варианта данного закона.
а) «Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции»:
|= A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C).
б) «Закон дистрибутивности дизъюнкуии относительно конъюнкцуии»:
|= А Ú (В & С) º (А Ú В) & (А Ú С).
5. Закон идемпотентности.
Название данного закона происодит от латинского idempotens (сохраняющий ту же степень). Суть данного закона состоит в том, что если конъюнкцией или дизъюнкцией соединены две или более одинаковых пропозициональных переменных (или других формул логики высказыванй), то можно оставить только одну переменную, исключив остальные:
|= А & …& А º А; |= А Ú …Ú А º А.
Рассмотрим теперь четыре закона, касающихся всегда истинных и всегда ложных формул. Всегда истинную формулу (или тавтологию) обозначим символом (⊤), а всегда ложную формулу (или противоречие) – символом (^).
6. Закон исключения тавтологии из конъюнкции.
Суть данного закона состоит в том, что конъюнктивное присоединение тавтологии к произвольной формуле А не дает никой новой информации. То есть, согласно природе конъюнкуии (&), значение формулы А & ⊤ зависит исключительно от значений формулы А:
|= А & ⊤ º A.
7. Закон превращения конъюнкции в противоречие.
Данным законом утверждается, что в силу природы конъюнкции, если один из конъюнктов является всегда ложным (^), то вся конъюнкция становится всегда ложной:
|= А & ^ º ^.
8. Закон превращения дизъюнкции в тавтологию.
Известно, что если один из дизъюнктов является всегда истинным, то вся дизъюнкция будет всегда истинной(⊤):
|= А Ú ⊤ º ⊤.
9. Закон исключения противоречия из дизъюнкции.
Если к произвольной формуле А дизъюнктивно присоединить всегда ложную формулу, то в силу природы дизъюнкции истинностное значение формулы А Ú ^ будет зависеть только от формулы А:
|= А Ú ^ º А.
10. Первый закон де Моргана, или отрицание конъюнкции:
|= Ø (A & B) º Ø A Ú Ø B.
11. Второй закон де Моргана, или отрицание дизъюнкции:
|= Ø (А Ú В º Ø А & Ø В.
Как видим, суть законов де Моргана заключается в перенесении отрицаний, примененных к сложным высказываниям, на простые высказывания, из которых состоят сложные высказывания.
12. Закон выражения конъюнкции через дизъюнкцию:
|= A & B º Ø (Ø A Ú Ø B).
13. Закон выражения дизъюнкции через конъюнкцию:
|= A Ú B º Ø (Ø A & Ø B).
14. Закон исключения импликации:
|= А É В º Ø А Ú В.
15. Закон замены эквиваленции:
|= (А º В) º (А É В) & (B É A).
16. Закон замены сильной дизъюнкции:
|= А ÷ В º (А Ú В) & (Ø А Ú Ø В).
«Законы выявления»:
17. |= Ø A & (B Ú A) º Ø A & (B Ú A) & B
18. |= Ø A Ú (B Ù A) º Ø A Ú (B Ù A) Ú B
19. |= (A Ú B) & (Ø A Ú C) º (A Ú B) & (Ø A Ú C) & (B Ú C).
20. |= (A & B) Ú (Ø A & C) º (A & B) Ú (Ø A & C) Ú (B & C).
«Законы поглощения»:
21. |= (A Ú B) & (Ø A Ú B) º B.
22. |= (A Ú B) & A º А.
23. |= (A & B) Ú A º А.
Правило замены равносильности: пусть А – некоторая формула, и А¢ получается из нее заменой хотя бы одного вхождения подформулы В в формулу A на В¢. Тогда, если В¢ равносильна В, то формула А′ равносильна А.
Применяя данное правило, можно переходить от одних формул к другим, равносильным им.
Приведенные законы 1 - 23 обосновываются таблицами іистинности. Однако используя эти законы, можно установить равносильность любых формул, не обращаясь к таблицам истинности, а руководствуясь только правилом замены равносильности.
Например, возьмем формулу:
Ø (А Ú В) É С.
В соответствии со вторым законом де Моргана (11) заменим в данной формуле антецедент:
(Ø A & Ø. B) É C.
Полученная формула равносильна исходной.Согласно закону исключения импликации (14), заменим данную формулу равносильной ей:
Ø (Ø A & Ø B) Ú C
Подформулу Ø (Ø A & Ø B) заменим в соответствии с первым законом де Моргана (10):
Ø Ø A Ú Ø Ø В Ú С.
Теперь применим закон двойного отрицания (1):
А Ú В Ú С.
В силу транзитивности отношения равносильности полученная формула будет равносильной всем предыдущим формулам.
Пользуясь правилом замены, любую формулу можно превратить в равносильную ей таким способом, чтобы она не содержала тех или иных логических союзов, а вместо них содержала другие союзы.
Например, используя законы 14, 15, 16 и правило замены, формулу, содержащую знаки É, º, Ú, можно прератить в формулу, в которой данные знаки будут отсутствовать. Данным путем, подбирая соответствующие законы, можно получить равносильные формулы, содержащие только & и Ø, либо Ú и Ø, либо É и Ø.