Расчет параметров уравнения регрессии

Фондовооруженность,	Производительность труда,
				3, 61
				6, 0
				4, 41
				7, 59
				3, 61
				6, 80
				5, 20
				9, 19
				8, 38
				5, 20

Для определения параметров уравнения регрессии подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы:

.

Далее решаем систему нормальных уравнений в следующей последовательности:

1) разделим каждый член первого уравнения на 10, а каждый член второго уравнения на 50:

;

2) вычтем из второго уравнения первое и получим: , откуда: ;

3) подставим значение в первое уравнение, получим: .

Таким образом, уравнение регрессии примет следующий вид: . После определения параметров уравнения регрессии рассчитывается теоретическая линия регрессии путем подставки значений в уравнение регрессии. Если параметры уравнения определены правильно, то .

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных, т.е. не выделенных для исследования факторных признаков, параметр – это коэффициент регрессии, который показывает, насколько изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу его собственного измерения.

В нашем случае при повышении фондовооруженности на 1 тыс. руб., производительность труда увеличится на 0, 796 тыс. руб.

Проверка значимости параметров модели производится с использованием t -статистики, которая в этом случае представляет собой отношение значения параметра к его стандартной (среднеквадратической) ошибке S:

где - стандартная ошибка параметра : = ;

- стандартная ошибка параметра : = .

Фактические значения t -критерия сравниваются с табличными (с учетом уровня значимости α и числа степеней свободы (d.f.=n-k- 1)). Параметры признаются статистически значимыми, т.е. сформированными под воздействием неслучайных факторов, если t _факт > t _табл.

Значимость уравнения в целом оценивается на основе F -критерия Фишера.

:

где k – число степеней свободы факторной дисперсии, равное числу независимых переменных (признаков-факторов) в уравнении регрессии;

n-k- 1 - число степеней свободы остаточной дисперсии.

Если обе части соотношения разделить на общую дисперсию зависимой переменной (результата), то F -критерий может быть представлен следующим образом:

. (1.28)

Расчетное значение критерия сопоставляется с табличным (с учетом числа степеней свободы: d.f. = k и d.f.=n-k- 1). Если , то делается вывод о статистической значимости уравнения в целом. Поскольку F -критерий основан на соотношении факторной и остаточной дисперсий результативного признака, то вполне логично его использование для оценки качества модели. Если объясненная дисперсия существенно больше необъясненной, это означает, что в уравнение связи включены именно те факторы, которые играют определяющую роль в изменении значения признака-результата. Статистическая значимость уравнения одновременно означает статистическую значимость коэффициента детерминации.

По данным регрессионного анализа можно рассчитать коэффициент эластичности, характеризующий пропорцию взаимосвязи между вариацией факторного и результативного признаков: .

Например, , т.е. в данном случае коэффициент эластичности показывает, что с ростом фондовооруженности труда на 1%, производительность труда возрастет на 0, 66%

Если уравнение зависимости выражается параболой второго порядка: , расчет параметров производится также по методу наименьших квадратов. Для чего составляется система нормальных уравнений:

.

Решая систему нормальных уравнений, определяются параметры уравнения параболы второго порядка, при этом используется та же методика их определения, только во втором шаге из второго уравнения вычитается первое, а из третьего уравнения вычитается второе.

Если результативный признак с увеличением факторного признака изменяется не бесконечно, а стремится к какому-то конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы:

.

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Чтобы определить параметры уравнения гиперболы методом наименьших квадратов, необходимо привести его к линейному виду. Для чего производят замену переменных: и получают следующую систему нормальных уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяются параметры уравнения гиперболы.

Уравнение степенной функции применяется в экономических исследованиях для характеристики слабой нелинейной связи между результативными и факторными признаками. Параметр показывает, что с увеличением факторного признака на 1%, результативный признак увеличивается на процентов, т.е. является коэффициентом эластичности.

Для определения параметров степенной функции методом наименьших квадратов степенную функцию необходимо привести к линейному виду путем логарифмирования:

.

Далее производят замену переменных: , , , после чего записывают предыдущее уравнение в новых обозначениях:

.

Затем строится система нормальных уравнений6

Решая данную систему уравнений, определяются параметры и . Переходя к первоначальным обозначениям , определяется параметр .

Обычно изменение экономических явлений происходит под влиянием не одного, а большого числа самых разнообразных факторов, в таких случаях связь между результативным и факторными признаками выражается уравнением множественной регрессии.

Уравнения множественной регрессии могут быть линейными, криволинейными и комбинированными. Наиболее простым видом уравнения множественной регрессии является линейное уравнение с двумя переменными:

.

Параметры такого уравнения определяются решением системы нормальных уравнений:

Параметр показывает усредненное влияние на результат неучтенных факторных признаков, параметры и характеризуют влияние одного из факторов при элиминировании другого.