Многоканальные С. п. с селективной модуляцией 46 страница

где g - статистич. вес осн. состояния атома, т. е. число состояний, соответствующее его нижнему энергетич. уровню, V - объём газа (здесь е - основание натуральных логарифмов). При высоких темп-pax g = (2J + 1)(2L + 1), где J - величина спина, a L - момента орбитального атома (в единицах h). Из выражения для свободной энергии следует, что уравнение состояния идеального газа, т. е. зависимость его давления (P) от плотности числа частиц (N/V) и температуры, имеет вид: PV = NkT. Внутр. энергия одноатомного газа и его теплоёмкость при постоянном объёме оказываются равными:
[ris]

а его хим. потенциал:
[ris]

Характерно, что даже для невырожденного (т. е. с достаточной точностью подчиняющегося классич. механике) газа

выражения для свободной энергии и хим. потенциала содержат постоянную Планка h. Это, в конечном счёте, обусловлено отмеченной ранее связью энтропии с понятием числа квантовых состояний.

В случае двухатомных и многоатомных газов вклад в термодинамич. функции вносят также колебания и вращение молекул. Этот вклад зависит от того, существенны ли эффекты квантования колебаний и вращения молекулы. Расстояние между колебат. уровнями энергии имеет порядок [ris] Еk = h ?, где [ris] - характерная частота колебаний, а расстояние между первыми вращат. уровнями энергии порядка [ris] Е_в = h²/2l, где l - момент инерции вращающегося тела, в данном случае молекулы. Классич. статистика справедлива, если темп-pa достаточно высока, так что

kT> [ris]E.

В этом случае в соответствии с законом равнораспределения вращение вносит в теплоёмкость постоянный вклад, равный 1/2kна каждую вращат. степень свободы; в частности, для двухатомных молекул этот вклад равен k. Колебания же вносят в теплоёмкость вклад, равный k на каждую колебат. степень свободы (так что колебат. теплоёмкость двухатомной молекулы равна k). Вдвое больший вклад колебательной степени свободы по сравнению с вращательной связан с тем, что при колебаниях атомы в молекуле имеют не только кинетическую, но и потенциальную энергию. В обратном предельном случае kТ< h [ris] молекулы находятся в своём осн. колебательном состоянии, энергия к-рого не зависит от температуры, так что колебания вообще не вносят вклада в теплоёмкость. То же относится к вращению молекул при условии kT < h²/21. По мере повышения темп-ры появляются молекулы, находящиеся в возбуждённых колебат. и вращат. состояниях, и эти степени свободы начинают давать вклад в теплоёмкость - как бы постепенно " включаются", стремясь при дальнейшем повышении темп-ры к своему классич. пределу. T. о., учёт квантовых эффектов позволил объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости газов от темп-ры. Значения величины h²/2kl, характеризующей " вращательный квант", для большинства молекул порядка неск. градусов или десятков градусов (85 К для H₂, 2, 4 К для O₂, 15 К для HCl).

Рис. 1. Зависимость вращательной С_вр (а) и колебательной Скол (б) частей теплоёмкости двухатомного газа (в единицах классических значений теплоёмкости) от температуры T.

В то же время характерные значения величины h [ris]/k для " колебат. кванта" порядка тысяч градусов (6100 К для H₂, 2700 К для O₂, 4100 К для HCl). Поэтому вращат. степени свободы включаются при гораздо более низких темп-pax, чем колебательные. На рис. 1 изображены температурная зависимость вращательной (а) и колебательной (б) теплоёмкостей для двухатомной молекулы (вращат. теплоёмкость построена для молекулы из разных атомов).

Неидеальный газ. Важное достижение С. ф. - вычисление поправок к термодинамическим величинам газа, связанных с взаимодействием между его частицами. С этой точки зрения уравнение состояния идеального газа является первым членом разложения давления реального газа по степеням плотности числа частиц, поскольку всякий газ при достаточно малой плотности ведёт себя как идеальный. С повышением плотности начинают играть роль поправки к уравнению состояния, связанные с взаимодействием. Они приводят к появлению в выражении для давления членов с более высокими степенями плотности числа частиц, так что давление изображается т. н. вириальным рядом вида:
[ris]

Коэффициенты В, С и т. д. зависят от темп-ры и наз. вторым, третьим и т. д. вириальными коэффициентами. Методы С. ф. позволяют вычислить эти коэффициенты, если известен закон взаимодействия между молекулами газа. При этом коэффициенты В, С,... описывают одновременное взаимодействие двух, трёх и большего числа молекул. Напр., если газ одноатомный и потенциальная энергия взаимодействия его атомов U(r), то второй вириальный коэффициент равен
[ris]

По порядку величины В равен r ₀, где r_о- характерный размер атома, пли, точнее, радиус действия межатомных сил. Это означает, что ряд (15) фактически представляет собой разложение по степеням безразмерного параметра Nr³/V, малого для достаточно разреженного газа. Взаимодействие между атомами газа носит характер отталкивания на близких расстояниях и притяжения па далёких. Это приводит к тому, что В > О при высоких темп-pax и В< 0 при низких. Поэтому давление реального газа при высоких темп-pax больше давления идеального газа той же плотности, а при низких- меньше. Так, напр., для гелия при T = 15, 3 К коэффициент В = = - 3*10-²³ см³, а при T = 510 К В = 1, 8 *10" ²³ ел³. Для аргона B = = -7, 1 *10-²³ см³ при T = 180 К и В = 4, 2 *10-²³см³ при T = 6000 К. Для одноатомных газов вычислены значения вириальных коэффициентов, включая пятый, что позволяет описывать поведение газов в достаточно широком интервале плотностей (см. также Газы).

Плазма. Особый случай неидеального газа представляет собой плазма - частично или полностью ионизованный газ, в к-ром поэтому имеются свободные электроны и ионы. При достаточно малой плотности свойства плазмы близки к свойствам идеального газа. При вычислении же

отклонений от идеальности существенно, что электроны и ионы взаимодействуют электростатически по закону Кулона. Кулоновские силы медленно убывают с расстоянием, и это приводит к тому, что уже для вычисления первой поправки к термодинамич. функциям необходимо учитывать взаимодействие не двух, а сразу большого количества частиц, поскольку интеграл во втором вириальном коэффициенте (16), описывающий парное взаимодействие, расходится на больших расстояниях г между частицами. В действительности под влиянием кулоновских сил распределение ионов и электронов в плазме изменяется таким образом, что поле каждой частицы экранируется, т. е. быстро убывает на нек-ром расстоянии, наз. дебаевским радиусом. Для простейшего случая плазмы, состоящей из электронов и однозарядных ионов, дебаевский радиус T₀ равен:
[ris]

где N - число электронов, е - заряд электрона. Все частицы, находящиеся внутри дебаевского радиуса, принимают участие во взаимодействии одновременно. Это приводит к тому, что первая поправка к давлению пропорциональна не (N/ V)², как в обычном газе, а более низкой степени плотности - (N/V)^3/2. Количественный расчёт основан на том, что остальные частицы распределены в поле выбранного электрона или иона согласно распределению Больцмана. В результате уравнение состояния с учётом первой поправки имеет вид:
[ris]

(т. к. число электронов равно числу ионов, полное число частиц равно 2N). Такого же рода поправки возникают и в термодинамич. функциях электролитов, в к-рых имеются свободные ионы растворённых веществ.

Жидкости. В отличие от газа, связанные с взаимодействием члены в уравнении состояния жидкости не малы. Поэтому свойства жидкости сильно зависят от конкретного характера взаимодействия между её молекулами. В теории жидкости вообще отсутствует малый параметр, к-рый можно было бы использовать для упрощения теории. Невозможно получить к.-л. аналитич. формулы для термодинамич. величин жидкости. Одним из способов преодоления этой трудности является изучение системы, состоящей из сравнительно небольшого числа частиц - порядка неск. тысяч. В этом случае, используя ЭВМ, можно провести прямое решение уравнений движения частиц и определить таким способом ср. значения всех характеризующих систему величин без дополнит, предположений. При этом можно исследовать также и процесс приближения такой системы к состоянию равновесия. Можно также найти статистич. интеграл для такой системы из небольшого числа частиц путём вычисления на ЭВМ интегралов в осн. формуле для статистич. интеграла (обычно при этом используется Монте-Карло метод). Полученные обоими способами результаты имеют, однако, малую точность в приложении к реальным жидкостям из-за малого числа частиц в системе.

Ещё один способ построения теории жидкости основан на использовании функций распределения молекул. Если проинтегрировать функцию распределения [ris] системы по импульсам всех частиц и по координатам всех частиц, кроме одной, получится одночастичная пространств, функция распределения f₁(r). Если проинтегрировать [ris] по импульсам всех частиц и по координатам всех частиц, кроме двух, получится двухчастичная функция распределения f₂(r_t, г₂), всех частиц, кроме трёх, - трёхчастичная функция распределения fз(r₁, r₂, r₃) и т. д. Двухчастичная функция распределения является непосредственно наблюдаемой физ. величиной - через неё выражается, напр., упругое рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов в жидкости. Считая, что функция распределения всей системы даётся распределением Гиббса (6), можно получить интегральное соотношение, выражающее двухчастичную функцию через трёхчастичную и потенциал взаимодействия между частицами. В теории жидкости это точное соотношение дополняется нек-рыми приближёнными, выражающими трёхчастичную функцию через двухчастичную (одночастичная функция в однородной жидкости сводится к постоянной). В результате получается уравнение для двухчастичной функции, к-рое решается численно. Дополнит, соотношения находятся на основании правдоподобных физ. соображений и носят интерполяционный характер, так что основанные на них теории могут претендовать лишь на качеств, описание свойств жидкости. Тем не менее даже такое качеств, описание имеет важное значение, поскольку в нём проявляется общность законов С. ф. (см. также Жидкость).

Химическое равновесие. Большое значение имеет предоставляемая С. ф. возможность вычисления констант хим. равновесия, определяющих равновесные концентрации реагирующих веществ. Термодинамич. теория приводит к условию равновесия в виде равенства нулю нек-рой линейной комбинации хим. потенциалов этих веществ. В случае реакции между газами хим. потенциалы определяются формулами, аналогичными формуле (14) для одноатомного газа, и константу равновесия можно вычислить, если известна теплота реакции. В выражения для хим. потенциалов входит постоянная Планка, поэтому квантовые эффекты существенны даже для реакций между классич. газами. Важным частным случаем формул хим. равновесия является Саха формула, определяющая равновесную степень ионизации газа. (Подробнее см. Равновесие химическое.)


Вырожденные газы. Если понижать темп-ру газа при постоянной плотности, начинают проявляться квантовомеханические эффекты, связанные со свойствами симметрии волновых функций системы одинаковых частиц. Газ " вырождается" (см. Вырожденный газ). Для частиц с полуцелым спином волновая функция должна менять знак при перестановке любой пары частиц. Это, в частности, приводит к тому, что в одном квантовом состоянии не может находиться болвше одной частицы (Паули принцип). Количество частиц с целым спином в одном состоянии может быть любым, но требуемая в этом случае неизменность волновой функции при перестановке частиц и здесь приводит к изменению статистич. свойств газа. Частицы с полуцелым спином описываются статистикой Ферми - Дирака; их называют фермионами. К фермионам относятся, напр., электроны, протоны, нейтроны, атомы дейтерия, атомы лёгкого изотопа гелия ³He. Частицы с целым спином - бозоны - описываются статистикой Бозе - Эйнштейна. К ним относятся атомы водорода, атомы ⁴He, кванты света - фотоны.

Пусть ср. число частиц газа в единице объёма с импульсами, лежащими в интервале d³p, есть n_pgd³pl(2[ris]h)³, так что п_р - число частиц в одной ячейке фазового пространства (g = 2J + 1, где J - спин частицы). Тогда из распределения Гиббса следует, что для идеальных газов фермионов (верхний знак) и бозонов (нижний знак):
[ris]

В этой формуле [ris] = р²/2М - энергия частицы с импульсом [ris], [ris] - хим. потенциал, определяемый из условия постоянства числа частиц (N) в системе:
[ris]

Формула (19) переходит в формулу распределения Больцмана (12) при kT> (h²/M)(N/V)^2/3; левая сторона этого неравенства делается порядка правой при таких темп-pax, при к-рых длина волны де Бройля частиц, движущихся с тепловой скоростью, становится порядка ср. расстояния между ними. T. о., вырождение сказывается при темп-pax тем более низких, чем меньше плотность числа частиц в газе (и чем больше масса частицы M).

В случае фермионов, как и должно быть, n_p< = 1. Это приводит к тому, что частицы газа фермионов (ферми-газа) и при T = О обладают отличными от нуля импульсами, поскольку в состоянии с нулевым импульсом может находиться только одна частица. Точнее, при T = Q для ферми-газа п_р = 1 внутри Ферми поверхности - сферы в импульсном пространстве с радиусом p_F=(6 [ris] ²/g)^1/3 h(N/V)^1/3,

а вне этой " ферми-сферы" п_р = О. При конечных, но низких темп-pax п_р меняется от 1 внутри сферы до нуля вне сферы постепенно, причём ширина переходной области порядка MkT/p_F. Величина п_р для ферми-газа как функция от энергии [ris] изображена схематически на рис. 2 ([ris] ₀ = [ris]_F ²/2М). При изменении темп-ры газа меняется состояние частиц только в этом переходном слое, и теплоёмкость ферми-газа при низких темп-pax пропорциональна T и равна:
[ris]

Рис. 2. Функция распределения Ферми - Дирака.

В бозе-газе при T = O все частицы находятся в состоянии с нулевым импульсом. При достаточно низких темп-рах в состоянии с р = 0 находится конечная доля всех частиц; эти частицы образуют т. н. бозе-эйнштейновский конденсат. Остальные частицы находятся в состояниях с [ris]< > O, причём их число определяется формулой (19) с [ris] = О. При темп-ре

T_c = [(3, 3/g^2/3)*(h/kM)] * (N/V)^2/3 в бозе-газе происходит фазовый переход (см. ниже). Доля частиц с нулевым импульсом обращается в нуль, Базе - Эйнштейна конденсация исчезает. Кривая зависимости теплоёмкости от темп-ры имеет в точке T₀ излом. Распределение частиц по импульсам при T > Т_с даётся формулой (19), причём [ris] < О. Схематически функции распределения Максвелла, Ферми- Дирака и Бозе- Эйнштейна (приТ> T_с) изображены на рис. 3.

Рис. 3. Сравнение функций распределения Максвелла (M), Ферми-Дирака (Ф.- Д.) и Бозе - Эйнштейна (Б.- Э.). По оси ординат отложено число частиц на одно состояние с энергией [ris].

Особым случаем применения статистики Бозе - Эйнштейна является равновесное электромагнитное излучение, к-рое можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением [ris] = h [ris] = рс, где с - скорость света в вакууме. Число фотонов не является заданной величиной, а само определяется из условия термодинамич. равновесия, поэтому их распределение по импульсам даётся формулой (19) с [ris] = О (причём [ris] = рс). Распределение энергии в спектре излучения получается умножением числа фотонов на энергию [ris], так что плотность энергии в интервале частот

d [ris] равна п_р (h[ris]³d[ris])/[ris]²c³, причем п_р берётся при [ris] = h [ris]. T. о. получается формула Планка для спектра равновесного (чёрного) излучения (см. Планка закон излучения).

Кристаллическая решётка. Применение С. ф. к вычислению термодинамич. функций кристаллич. решётки основано на том, что атомы в решётке совершают малые колебания около своих положений равновесия. Это позволяет рассматривать решётку как совокупность связанных гармонич. осцилляторов. В такой системе могут распространяться волны, характеризующиеся своим законом дисперсии, т. е. зависимостью частоты [ris] от волнового вектора k. B квантовой механике эти волны можно рассматривать как совокупность т. н. элементарных возбуждений, или квазичастиц, - фононов, обладающих энергией h [ris] и квазиимпульсом hk. Осн. отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что энергия фонона является периодич. функцией квазиимпульса с периодом, по порядку величины равным h/a, где [ris] - постоянная решётки. Функция распределения фононов по квазиимпульсам даётся формулой распределения Бозе - Эйнштейна (19) с [ris] = О. При этом [ris] = h ?. T. о., знание зависимости [ris] (k) позволяет вычислить теплоёмкость решётки. Эту зависимость можно определить из опытов по неупругому рассеянию нейтронов в кристалле (см. Нейтронография) или вычислить теоретически, задавая значения " силовых констант", определяющих взаимодействие атомов в решётке. При низких темп-рах существенны только фононы с малой частотой, соответствующие квантам обычных звуковых волн, для к-рых связь (а с k линейна. Это приводит к тому, что теплоёмкость кристаллич. решётки пропорциональна T³. При высоких же темп-рах можно пользоваться законом равного распределения энергии по степеням свободы, так что теплоёмкость не зависит от темп-ры и равна 3Nk, где N - число атомов в кристалле.

Металлы. В металлах вклад в термодинамич. функции дают также электроны проводимости. Состояние электрона в металле характеризуется квазиимпульсом, и, т. к. электроны подчиняются статистике Ферми - Дирака, их распределение по киазиимпульсам даётся формулой (19). Поэтому теплоёмкость электронного газа, а следовательно, и всего металла при достаточно низких темп-рах пропорциональна T. Отличие от фермигаза свободных частиц состоит в том, что поверхность Ферми, около к-рой сосредоточены " активные" электроны, уже не является сферой, а представляет собой нек-рую сложную поверхность в пространстве квазиимпульсов. Форму поверхности Ферми, равно как и зависимость энергии от квазпимпульса вблизи этой поверхности, можно определять экспериментально, гл. обр. исследуя магнитные свойства металлов, а также рассчитывать теоретически, используя т. н. модель квазипотенциала. В сверхпроводниках (см. Сверхпроводимость) возбуждённые состояния электрона отделены от ферми-поверхности щелью конечной ширины, что приводит к экспрненц. зависимости электронной теплоёмкости от темп-ры. В ферромагнитных и антиферромагнитных веществах вклад в термодинамич. функции дают также колебания магнитных моментов - спиновые волны.

В диэлектриках и полупроводниках при T = О свободные электроны отсутствуют. При конечных темп-рах в них появляются заряж. квазичастицы - электроны с отрицат. зарядом и (в равном числе) " дырки" с положит, зарядом. Электрон и дырка могут образовать связанное состояние - квазичастицу, наз. экситоном. Др. тип экситона представляет собой возбуждённое состояние атома диэлектрика, перемещающееся в кристаллич. решётке.

Методы квантовой теории поля в С. ф. При решении задач квантовой С. ф., прежде всего при исследовании свойств квантовых жидкостей, электронов в металлах и магнетиков, важное значение имеют методы квантовой теории поля, введённые в С. ф. сравнительно недавно. Осн. роль в этих методах играет функция Грина G макроскопич. системы, аналогичная функции Грина в квантовой теории поля. Она зависит от энергии [ris] и импульса р, закон дисперсии квазичастиц [ris]([ris]) определяется из уравнения:

[G ([ris], р)]^-1 = 0, (21)

т. е. энергия квазичастицы определяется полюсом функции Грина. Существует регулярный метод вычисления функций Грина в виде ряда по степеням энергии взаимодействия между частицами. Каждый член этого ряда содержит многократные интегралы по энергиям и импульсам от функций Грина невзаимодействующих частиц и может быть изображён графически в виде диаграмм, аналогичных Фейнмана диаграммам в квантовой электродинамике. Каждая из этих диаграмм имеет определённый физический смысл, что позволяет отделить в бесконечном ряду члены, ответственные за интересующее явление, и просуммировать их. Существует также диаграммная техника для вычисления темп-рных функций Грина, позволяющих вычислять термодинамич. величины непосредственно, без введения квазичастиц.

Упомянутые в разделе о жидкости методы, использующие многочастичные функции распределения квазнчастнц, во многих отношениях близки к методам квантовой теории поля. Использование этих функций всегда основано на приближённом " расцеплении" - выражении функции более высокого порядка через функции более низкого.

Фазовые переходы. При непрерывном изменении внешних параметров (напр., давления или темп-ры) свойства системы могут при нек-рых значениях параметров измениться скачкообразно, т. е. происходит фазовый переход. Фазовые переходы делятся на переходы первого рода, сопровождающиеся выделением скрытой теплоты перехода и скачкообразным изменением объёма (к ним относится, напр., плавление), и переходы второго рода, в к-рых скрытая теплота и скачок объёма отсутствуют (напр., переход в сверхпроводящее состояние). Статистич. теория фазовых переходов составляет важную, но ещё далёкую от завершения область С. ф. Наибольшую трудность для теоретич. исследования представляют при этом свойства вещества вблизи линии фазового перехода второго рода и вблизи критической точки фазового перехода первого рода. С матем. точки зрения термодинамич. функции системы имеют здесь особенности. Вблизи этих точек происходят своеобразные критические явления. В то же время здесь аномально возрастают флуктуации, и рассмотренные выше приближённые методы С. ф. оказываются неприменимыми. Поэтому важную роль играет небольшое число точно решаемых моделей, в к-рых есть переходы (напр., т. н. модель Йзинга).

Флуктуации. В основе С. ф. лежит тот факт, что физ. величины, характеризующие макроскопич. тела, с большой точностью равны своим ср. значениям. Это равенство является всё же приближённым, в действительности все величины испытывают малые беспорядочные отклонения от ср. значений - фчуктуации. Существование флуктуации имеет большое принципиальное значение, т. к. прямо доказывает статистнч. характер термодинамич. закономерностей. Кроме того, флуктуации играют роль шума, мешающего физ. измерениям и ограничивающего их точность. Флуктуации нек-рсш величины хоколо её ср. значения ххарактеризуются ср. квадратом флуктуации

([ris] х)² = (х-х)² = х² - х².

В подавляющем большинстве случаев величина хиспытывает флуктуации порядка корень ([ris] х)², существенно большие флуктуации встречаются крайне редко. Знание функции распределения системы позволяет вычислить ср. квадрат флуктуации точно так же, как н ср. значение любой физ. величины. Малые флуктуации термодинамич. величин можно вычислить, используя статистич. истолкование энтропии. Согласно (10), вероятность неравновесного состояния системы с энтропией S пропорциональна e^slk. Это приводит к формуле
[ris]

Напр., ср. квадраты флуктуации объёма и темп-ры тела равны:
[ris]

Из этих формул видно, что относит. флуктуации объёма и флуктуации

темп-ры обратно пропорциональны корень N, где N - число частиц в теле. Это и обеспечивает малость флуктуации для мак-роскопич. тел. Связь между флуктуация-ми различных величин х _i, х_к характеризуется функцией [ris]х_i[ris]х_к. Если флуктуации величин х_i и х_к статистически независимы, то [ris]х_i[ris]х_к = [ris]х_i*[ris]х_к = О.

Под х_i и х_к можно понимать и значения одной и той же величины, напр, плотности, в различных точках пространства. Тогда эта функция имеет смысл пространственной корреляционной функции. С увеличением расстояния между точками корреляционная функция стремится к нулю (обычно экспоненциально), т. к. флуктуации в далёких точках пространства происходят независимо. Расстояние, на к-ром эта функция существенно убывает, наз. корреляционным радиусом.

Временной ход флуктуации и спектральное распределение флуктуационного шума описываются временной корреляционной функцией [ris] (t), в к-рой усредняются флуктуации величины, взятые в различные моменты времени t:

[ris] (t₁-t₂) = [ris] х (t₁) [ris] х(t₂).

Важную роль в теории флуктуации играет т. н. флуктуационно-диссипативная теорема, связывающая флуктуации в системе с изменением её свойств под влиянием определённых внешних воздействий. Простейшее соотношение такого рода можно получить, рассматривая флуктуации гармонич. осциллятора с потенц. энергией 1/2 m[ris]_o² (х - х)², где т - масса осциллятора, соо - его собств. частота. Вычисление с помощью формулы (22) даёт: ([ris]х)² = kT/т[ris]o². С др. стороны, если на осциллятор действует сила f, ср. значение х смещается на величину [ris]х = = f/m[ris]_o², так что
[ris]

и флуктуация х действительно связана с возмущением под влиянием силы f. В общем случае флуктуационно-диссипативная теорема применима, если для х существует " обобщённая сила" f, к-рая входит в оператор энергии системы (гамильтониан; см. Квантовая механика) в виде члена - fx, где х - квантовоме-ханнч. оператор, соответствующий величине х. Включение силы f приведёт к изменению ср. значения х на величину [ris][ris], причём, если f зависит от времени как е^-1[ris]t, это изменение можно записать в виде:

[ris]х =[ris]([ris]) f;

комплексная величина [ris] ([ris]) наз. обобщённой восприимчивостью системы. Теорема утверждает, что фурье-образ корреляционной функции
[ris]

выражается через [ris] след, образом:
[ris]

(Im означает мнимую часть функции). Частным случаем (25) является Найквиста формула.

С. ф. неравновесных процессов. Всё большее значение приобретает кинетика физическая - раздел С. ф., изучающий процессы в системах, находящихся в неравновесных состояниях. Здесь возможны две постановки вопроса. Во-первых, можно рассматривать систему в нек-ром неравновесном состоянии и следить за её переходом в состояние равновесия. Во-вторых, можно рассматривать систему, неравновесное состояние к-рой поддерживается внеш. условиями, напр, тело, в к-ром задан градиент темп-ры, протекает электрич. ток и т. п., или тело, находящееся в переменном внеш. поле.

Если отклонение от равновесия мало, неравновесные свойства системы описываются т. н. кинетическими коэффициентами. Примерами таких коэффициентов являются коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии, электропроводность металлов и т. п. Эти величины удовлетворяют принципу симметрии кинетич. коэффициентов, выражающему симметрию уравнений механики относительно изменения знака времени (см. Онсагера теорема). В силу этого принципа, напр., электропроводность кристалла описывается симметричным тензором.

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэффициентов производятся с помощью кинетического уравнения. Это уравнение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение для од-ночастичной функции распределения (в квантовом случае - для одночастичной матрицы плотности, или статистического оператора). Такое замкнутое, т. е. не содержащее др. величин, уравнение невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетическое уравнение Болъцмана, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого уравнения зависит от эффективного сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, уравнение можно решать, разлагая искомую функцию по ортогональным полиномам (см. Ортогональная система функций). Таким способом можно вычислить кинетич. коэффициенты газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Уравнение Больцмана учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэфф. по плотности газа. Удалось найти и более точное уравнение, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения.