Естественные науки математика

Науч. исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петерб. АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и др. зап.-европ. учёные. По замыслу Петра I академики-иностранцы должны были иметь рус. учеников; и действительно, Эйлеру удалось основать рус. математич. школу. В 19 в. Россия дала мировой науке Н. И. Лобачевского, создателя неевклидовой геометрии, труды к-poro длит, время не были оценены, но в дальнейшем оказали огромное влияние на развитие математики и смежных с ней наук. В 19 в. в АН были избраны выдающиеся математики М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский и П. Л. Чебышёв, создавший в Петербурге замечательную математич. школу, к к-рой, в частности, принадлежали академики А. М. Ляпунов, А. А. Марков и В. А. Стеклов, П. Л. Чебышёв считал, что в математике важно прежде всего то, что помогает решать практич. задачи или содействует развитию смежных разделов науки; исходя из запросов теории механизмов, он построил теорию наилучших приближений функций. Русские математики внесли большой вклад в решение технич. проблем. Труды Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина были посвящены созданию теории полёта и развитию авиации, а труды А. Н. Крылова - созданию теории корабля и развитию кораблестроения.

Достижения дореволюц. рус. математики были связаны с исследованиями отд. учёных и имели очень узкую базу. Осн. центрами математич. исследований являлись ун-ты - Петербургский, Московский, Казанский, Киевский, Харьковский. В Петерб. ун-те работали почти все математики - члены АН; в др. математич. центрах гл. достижения были также связаны с работами чебышевской школы.

В СССР после Окт. революции 1917 успешно разрабатываются все осн. направления совр. математики; активно ведётся работа по её применениям. Выдающаяся роль принадлежит Матем. ин-ту им. В. А. Стеклова АН СССР (1934, Москва), на базе отделов к-рого был создан ряд н.-и. учреждений, в том числе Ин-т прикладной математики АН СССР (1963, Москва). Большая н.-и. работа в области математики и её приложений ведётся также в Вычислит, центре АН СССР (1955, Москва), Ин-те математики Сибирского отделения АН СССР (1957, Новосибирск), на матем. кафедрах МГУ, ЛГУ и др. ун-тов, Ин-те математики и механики Уральского науч. центра АН СССР (1971, Свердловск), в ин-тах респ. АН. На Украине, в Грузии, Армении, Узбекистане, Литве имеются крупные матем. школы.

В области теории чисел И. М. Виноградов создал мощный метод тригонометрич. сумм, позволивший получить наилучшие результаты в вопросе о распределении дробных долей функций, в аддитивных задачах, в распределении простых чисел в натуральном ряде; последний вопрос тесно связан с проблемой распределения нулей дзета-функции Римана - одной из труднейших в теории функций комплексного переменного. И. М. Виноградов получил асимптотич. формулы, из к-рых в качестве весьма частного случая вытекает решение т. н. проблемы Гольдбаха о возможности представления любого нечётного числа в виде суммы трёх простых чисел. Метод тригонометрич. сумм играет большую роль и в др. разделах математики. Существ, вклад в развитие этого метода и его приложений внёс Ю. В. Линник. Значит, результаты в теории трансцендентности принадлежат А. О. Гельфонду. В области теории чисел работали также И. И. Иванов, Р. О. Кузьмин, К. К. Марджанишвили, Л. Г. Шнирельман и др.

Важнейшие исследования в области алгебры велись в тесной связи с работами по матем. логике. Так, методами матем. логики П. С. Новиков опроверг высказанную в нач. 20 в. гипотезу о том, что всякая периодич. группа с конечным числом образующих конечна (аналогичные предположения высказывались и в отношении др. алгебраич. систем). А. И. Мальцев, также методами математич. логики, доказал, в частности, неразрешимость элементарной теории конечных групп; А. И. Мальцев и А. А. Марков разрабатывали теорию алгоритмов; В. М. Глушков - абстрактную теорию автоматов, получившую важные применения. Авторами работ в области алгебры являются также Д. А. Граве, О. Ю. Шмидт, Б. Н. Делоне, А. П. Ершов, М. И. Каргаполов, А. И. Кострикин, Д. К. Фаддеев, Н. Г. Чеботарёв, А. И. Ширшов и др., а в области математической логики - Ю. Л. Ершов, О. Б. Лупанов, А. А. Ляпунов, С. В. Яблонский и др.

Возникла теория управляющих систем. Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко и др. создали общую математич. теорию оптимальных процессов, в центре к-рой находится предложенный Л. С. Понтрягиным «принцип максимума». Качественная теория обыкновенных дифференциальных ур-ний разрабатывалась в связи с теорией нелинейных колебаний. При этом весьма важное значение имело введение в рассмотрение А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным т. н. грубых систем ур-ний, т. е. таких систем, общее поведение траекторий к-рых не меняется при малых изменениях правых частей уравнений. Теорией обыкновенных дифференциальных ур-ний занимались также Н. М. Крылов, И. А. Лаппо-Данилевский, В. В. Степанов и др.

Развивая асимптотич. методы теории колебаний, Н. Н. Боголюбов нашёл асимптотич. ряды, дающие хорошие приближения на больших отрезках времени. Им была доказана при весьма общих предположениях сходимость асимптотич. разложений; исследование поведения асимптотич. разложений на бесконечном промежутке времени проведено методом инвариантных многообразий. Эти работы нашли многочисленные как теоретические, так и практич. применения.

Вопрос об устойчивости конкретной системы, как показал А. М. Ляпунов, может быть сведён к построению нек-рой функции и определению знака её производной. Н. Н. Красовский определил критерий существования функций Ляпунова для автономных (не зависящих от времени) систем широкого класса.

Н. Н. Лузин провёл важные исследования в области теории функций действительного переменного. В частности, он доказал существование непрерывной примитивной для каждой измеримой и конечной почти всюду функции; это дало возможность решения задачи Дирихле в классе измеримых функций. Основанная Н. Н. Лузиным и Д. Ф. Егоровым московская математич. школа явилась источником ряда новых направлений в сов. математике.

А. Н. Колмогоровым, Д. Е. Меньшовым, В. Я. Козловым и др. учёными глубоко разработана теория тригонометрич. рядов. В связи с развитием функциональных и вариационных методов решения краевых задач математич. физики изучен ряд новых проблем в теории дифференцируемых функций многих переменных. С. Л. Соболевым и С. М. Никольским установлены теоремы вложения для различных классов функций. Вопросам теории приближения функций в действительной области посвящены работы С. М. Никольского и др. учёных.

Много работ сов. учёных посвящено теории функций комплексного переменного и её приложениям. Важнейшие применения теории аналитич. функций в области аэромеханики были даны Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Большой вклад в аэромеханику внёс М. В. Келдыш. Результаты Н. И. Мусхелишвили и И. Н. Векуа по граничным задачам теории аналитич. функций, к-рыми занимались также В. В. Голубев и И. И. Привалов, нашли применение в теории упругости, теории оболочек, в механике сплошной среды. В связи с рядом прикладных задач разрабатывались обобщения теории аналитич. функций. М. А. Лаврентьев создал теорию квазиконформных отображений, к-рую он применил к изучению струйного течения жидкости. И. Н. Векуа построил теорию обобщённых аналитич. функций.

М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев провели фундаментальные исследования в теории равномерного приближения функций комплексного переменного многочленами. Эти работы были продолжены А. Г. Витушкиным, А. А. Гончаром, С. Н. Мергеляном и др. учёными; был изучен вопрос о приближении функций комплексного переменного рациональными функциями, работы по интерполяции функций в комплексной области выполнил А. Ф. Леонтьев.

Разработка теории функций действительного переменного привела сов. математиков к необходимости развития теории множеств и содействовала возникновению теоретико-множественной топологии. Основополагающими явились работы П. С. Александрова. Им, в частности, введено фундаментальное понятие нерва системы множеств. П. С. Александровым создана топологич. теория незамкнутых множеств, играющая большую роль в топологии.

Л. С. Понтрягин является основателем школы алгебраич. топологии. Совр. топология представляет собой цикл областей математики, изучающих т. н. глобальные проблемы геометрии, анализа, теории дифференц. ур-ний; она охватывает также часть алгебры. Начиная с исследований Л. С. Понтрягина по теории двойственности, топология развивалась под влиянием его идей п методов. Вопросами топологии занимались также А. Н. Тихонов, С. П. Новиков и др.

В области геометрии А. Д. Александровым построена общая теория выпуклых многогранников. Им, А. В. Погореловьш и др. геометрами исследованы дифференциально-геометрич. образования «в целом».

Многочисл. исследования проведены по теории дифферснц. ур-ний с частными производными. В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым был дан метод решения ур-ний гиперболич. типа. А. Н. Колмогоровым были изучены ур-ния параболич. типа. И. Г. Петровский выделил и изучил широкие классы эллиптич., гиперболич. и параболич. систем, к-рые в основном сохраняют свойства соответствующих ур-ний 2-го порядка. Им же дано решение задачи Коши для гиперболич.

систем и в наиболее общем виде исследован вопрос об аналитичности решений эллиптич. систем (в частных случаях этот вопрос рассматривался ранее).

И. Н.Векуа исследовал общие краевые задачи для эллиптич. ур-ний высшего порядка с двумя независимыми переменными созданным им методом интегральных представлений решений; эти работы были продолжены мн. математиками. Уравнения смешанного типа изучались М. А. Лаврентьевым и А. В. Бицадзе. Н. М. Крыловым, Н. Н. Боголюбовым, И. Г. Петровским были разработаны прямые методы решения вариационных задач, качественные методы исследования вариационных задач развиты в работах Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана и др.

Работы С. Л. Соболева в области математич. физики вызвали необходимость изучения новых классов ур-ний. Им введены новые функционально-аналитич. методы исследования задач математич. физики, ряд работ по математич. физике выполнили Н. М. Гюнтер, Н. С. Кошляков и др.

М. В. Келдышем заложены основы теории несамосопряжённых операторов, к-рая применялась в исследованиях многочисленных учёных. Н. И. Мусхелишвили и его учениками получены важные результаты в области теории сингулярных интегральных операторов. Значит, работы проведены по спектральной теории операторов. Получено много результатов в изучении краевых задач смешанного типа и в теории квазилинейных систем. Ряд вопросов функционального анализа (теория нормированных колец, представления групп, обобщённые функции) изучался И. М. Гельфандом. Л. В. Канторовичем построена теория полуупорядоченных пространств. Л. И. Седовым предложены обобщённые вариационные принципы механики, дающие возможность описания необратимых процессов.

В теоретич. физике Н. Н. Боголюбов и В. С. Владимиров применили к проблемам квантовой теории поля методы теории аналитич. функций мн. комплексных переменных и теории обобщённых функций. Н. Н. Боголюбовым построена теория сверхтекучести и установлен фундаментальный факт, что сверхпроводимость может рассматриваться как сверхтекучесть электронного газа. Н. Н. Боголюбовым предложена система аксиом квантовой теории поля, к-рая дала возможность строго доказать дисперсионные соотношения. В связи с изучением вопросов квантовой теории поля Н. Н. Боголюбовым и В. С. Владимировым получены важные результаты в теории функций многих комплексных переменных (теорема об «острие клина», о «С-выпуклой оболочке», о «конечной инвариантности» и др.). Важные результаты в области теоретич. физики принадлежат также Л. Д. Фаддееву.

Многочисл. работы в области теории вероятностей и математич. статистики ведутся со времён деятельности П. Л. Чебышёва и его учеников А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. С. Н. Бернштейн завершил исследования по предельным теоремам типа Лапласа и Ляпунова, приводящим к нормальному закону распределения, и изучил условия применимости основной предельной теоремы к зависимым величинам. Существенные результаты в области теории вероятностей получены А. Я. Хинчиным. А. Н. Колмогоровым разработана общепринятая ныне аксиоматика теории вероятностей, осн. на понятии меры. В трудах А. Н. Колмогорова и его школы широкое развитие получила теория случайных процессов. Ряд предельных теорем теории вероятностей доказан Ю. В. Прохоровым и его учениками, в т. ч. теоремы о сходимости распределений, связанных с суммами независимых случайных величин, к распределениям нек-рых случайных процессов. Авторами работ в области теории вероятностей являются также А. А. Боровков и др., а в области математич. статистики - Н. В. Смирнов, исследовавший её непараметрич. задачи, Л. Н. Большее и др. Ю. В. Линником введены новые аналитич. методы, применённые им и его учениками к предельным теоремам и к задачам параметрич. статистики. Ряду учёных принадлежат исследования в области теории надёжности и теории массового обслуживания.

Выдающееся значение имеют работы Н. Н. Боголюбова, В. М. Глушкова, А. А. Дородницына, М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева, А. Н. Тихонова и др. учёных по прикладной математике. А. А. Дородницыным и его сотрудниками созданы методы решения задачи обтекания тел в полной нелинейной постановке для звуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Н. Е. Кочиным исследованы вопросы движения вязкой жидкости. Границы применения математики всё более расширяются. Наряду с традиционными областями её применения, такими, как механика, физика, астрономия, возникли новые - экономика, биология и др. Ряд приложений математики к вопросам экономики разработал Л. В. Канторович.

Теорией приближённых вычислений занимался А. Н. Крылов. Совр. вычислительная математика возникла из задач новой техники на основе использования классич. математики и применения ЭВМ. Этим путём были решены важные задачи, относящиеся к проблеме овладения атомной энергией, к теории космич. полёта и к др. вопросам. Появление ЭВМ поставило перед математикой ряд новых проблем, в частности посвящённых изучению различных алгоритмов. В этой связи проведено сравнит, изучение алгоритмов для широкого круга задач, исследован вопрос о построении наилучших (или близких к наилучшим) алгоритмов, принадлежащих данному классу при различных критериях оптимальности. Важное значение для вычислит, техники имеет теория алгоритмич. языков, дающая возможность унификации и упрощения программирования на ЭВМ.

А. Н. Тихоновым и его сотрудниками изучена задача численного интегрирования обыкновенных дифференциальных ур-ний с разрывными коэффициентами и получены удобные для машинной реализации алгоритмы нахождения регуляризо-ванного решения для мн. некорректных задач математич. физики; в той же области работают В. К. Иванов, М. М. Лаврентьев и др. В. М. Глушковым, А. А. Дородницыным, А. А. Самарским, а также Н. П. Бусленко, Н. Н. Говоруном, С. К. Годуновым, Е. В. Золотовым, В. А. Мельниковым, Н. Н. Моисеевым, В. В. Русановым и др. учёными много сделано для использования ЭВМ в решении разнообразных классов математич. задач.

Среди науч. учреждений, к-рые разрабатывают вопросы, связанные с вычислит, техникой, находятся Ин-т прикладной математики АН СССР (1963), Ин-т точной механики и вычислит, техники (1948, Москва), Вычислительный центр АН СССР (1955), Ин-т кибернетики АН УССР (1962, Киев) и др.

Сов. математики принимают участие в работе Междунар. математич. союза (с 1957) и Междунар. математич. конгрессов (с 1928).

Периодич. издания: «Математический сборник» (с 1866), «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», (с 1931), «Известия АН СССР. Серия математическая» (с 1937), «Успехи математических наук» (с 1936), «Теория вероятностей и ее применения» (с 1956), «Журнал вычислительной математики и математической физики» (с 1961), «Математические заметки» (с 1967), «Функциональный анализ и его приложения» (с 1967), «Теоретическая и математическая физика» (с 1969), «Украинский математический журнал» (с 1949), «Сибирский математический журнал» (с I960), «Дифференциальные уравнения» (с 1965) и др.

См. Математика, Чисел теория, Алгебра, Логика, Геометрия, Топология, Функций теория, Функциональный анализ, Дифференциальные уравнения, Вероятностей теория, Математическая статистика, Вычислительная математика, Математические журналы. К. К. Марджанишвили.