Исторический очерк. Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накопленных прак-тич

Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накопленных прак-тич. правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем - постепенно и в очень медленном развитии - и дробных. Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А. вводится неизвестная величина; действия над ней, диктуемые условиями задачи, приводят к уравнению, из к-рого уже находится сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметич. задач есть уже в др.-егип. папирусе Ахмеса (1700 - 2000 до н. э.), где искомая величина наз. словом " куча" и обозначается соответствующим знаком - иероглифом (см. Папирусы математические). Древние египтяне решали и гораздо более сложные задачи (напр., на арифметич. и геометрич. прогрессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров. И все же за этими примерами чувствуется наличие накопленных общих методов, если не по форме, то по существу равносильных решению ур-ний 1-й и иногда 2-й степеней. Имеются и первые матем. знаки (напр., особый знак для дробей).

В нач. 20 в. были расшифрованы мно-гочисл. математич. тексты (клинописи) и другой из древнейших культур - вавилонской (см. Клинописные математические тексты). Это открыло миру высоту математич. культуры, существовавшей уже за 4000 лет до наших дней. Вавилоняне с помощью обширных спец. таблиц умели решать разнообразные задачи; нек-рые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник спор о том, в какой мере математику вавилонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение произошло гораздо позднее.

В Др. Греции была отчётливо выделена геометрия. У др.-греч. геометров впервые сознательно поставлено исследование, каждый шаг к-рого оправдан логич. доказательством. Мощь этого метода так велика, что и чисто арифметич. или алгебр, вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин - как площадь прямоугольника и т. д. И в совр. матем. языке сохранилось, напр., название " квадрат" для произведения величины на самоё себя. Характерное для более древних культур единство науч. знаний и практич. приложений было в др.-греч. математике разорвано: геометрию считали логич. дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчисления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистич. философия Платона не считала достойным предметом науки. Несомненно, эти отрасли также продолжали развиваться (на основе вавилонских и егип. традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта Александрийского " Арифметика" (вероятно, 3 в.), в к-ром он уже довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й и 2-й степеней; в зачаточной форме у него можно найти и употребление отрицат. чисел.

Наследие др.-греч. науки восприняли учёные средневекового Востока - Ср. Азии, Месопотамии, Сев. Африки. Меж-дунар. научным языком служил для них арабский яз. (подобно тому как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в истории математики иногда называют " арабским". В действительности же одним из крупнейших науч. центров этого времени (9-15 вв.) была Ср. Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узб. математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда аль-Хорезми и великого учёного-энциклопедиста Бируни; создание в 15 в. обсерватории Улугбека в Самарканде. Учёные ср.-век. Востока передали Европе математику греков и индийцев в оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно А. Само слово " алгебра" - арабское (аль-джебр) и является началом названия одного из сочинений Хорезми (аль-джебр означало один из приёмов преобразования уравнений). Со времени Хорезми А. можно рассматривать как отдельную отрасль математики.

Математики ср.-век. Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий (см. Знаки математические). Этот процесс шёл медленно и зигзагами. Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства, были подобные сокращения и у индийцев (5-7 вв.), но затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику ср.-век. Востока. Леонардо Пи-занский (13 в.) - наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебр, проблемами. Постепенно алгебр, методы проникают в вычислит, практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итал. учёные вновь переходят к удобным сокращениям, напр, вместо слов " плюс" и " минус" стали употреблять лат. буквы р и т с особой чёрточкой сверху. В кон. 15 в. в матем. сочинениях появляются принятые теперь знаки + и -, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.

Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К сер. 17 в. полностью сложился аппарат символов совр. А.- употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этой реформы, окончательно закреплённой Ф. Виетом (кон. 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают десятки частных правил вместо одного общего. Виет первый начал писать свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, I,..., а известные - согласными В, С, D,.... Эти буквы он соединяет введёнными уже в то время знаками математич. операций. Т. о. впервые возникают букв, формулы, столь характерные для совр. А. Начиная с Р. Декарта (17 в.) для неизвестных употребляют преим. последние буквы алфавита (х, у, z).

Введение символич. обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия - языка формул - были бы немыслимы блестящее развитие высшей математики начиная с 17 в., создание матем. анализа, матем. выражения законов механики и физики и т. д.

Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степеней. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) др.-греч. математики пришли, по-видимому, геометрич. путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних) не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). Решающий шаг - применение отрицательных чисел - был сделан инд. математиками (10 в.), но учёные ср.-век. Востока не пошли по этому пути. С отрицат. числами свыклись постепенно; этому особенно способствовали коммерч. вычисления, в к-рых отрицат. числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Окончательно же отрицат. числа были приняты только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрич. представлением для построения аналитич. геометрии.

Возникновение аналитической геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у древних греков, чисто алгебр, задачи облекались в геометрич. форму, то теперь, наоборот, алгебр, средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрич. задачи переводились на язык алгебр, формул. Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел см. в ст. Число. Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, напр., квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже древнегреческие и среднеазиатские математики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближённого вычисления их; но взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение же комплексных или " мнимых" чисел относится к следующей эпохе (18 в.).

Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 в. А. сложилась приблизительно в том объёме, к-рый до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему - извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, к-рые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, по существу сводившихся к уравнениям 1-й и 2-й степеней. Теперь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта " элементарная" А. применяется повседневно в технике, физике и др. областях науки и практики. Но содержание науки А. и её приложений этим далеко не ограничивается. Трудны и медленны были только первые шаги. С 16 в. и особенно с 18 в. начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она переживает новый расцвет.

На рус. яз. изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к нач. 18 в., было впервые дано в знаменитой " Арифметике" Л. Ф. Магницкого, вышедшей в 1703.

Алгебра в 18 - 19 вв. В кон. 17 - нач. 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом был вызван развитием производит, сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием А. В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16- 17 вв. способствовали зарождению взгляда на математич. величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой - её функции.

А. и анализ развивались в 17-18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С другой стороны, А. принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера, работавшего тогда в Петерб. академии наук. Этот курс вышел сначала на рус. яз. (1768-69), а затем неоднократно издавался на иностр. языках. Отличие А. от анализа в 18-19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим осн. предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й пол. 19 в. Н. И. Лобачевский, назвавший свою книгу " Алгебра, или Вычисление конечных" (1834). А. занимается осн. операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз.

Простейшим результатом умножения является одночлен, напр. 5а³bх²у. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) наз. многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, напр, x, то можно придать ему вид: а₀хⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n, где коэфф. a₀, a₁..., a_n уже не зависят от x. Это - многочлен n-й степени (другое наименование - полином, целая рациональная функция). А. 18-19 вв. и есть прежде всего А. многочленов.

Объём А., т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, напр., анализ перенял от А. её символику, без к-рой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример - Тейлора ряд. С др. стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, спе-цифич. виде (см. ниже - Современное состояние алгебры).

Если приравнять многочлен нулю (или вообще к.-л. определённому числу), мы получим алгебр, уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней - тех значений неизвестной величины х, при к-рых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения x² + рх + q = 0 в виде формулы:

[ris]

Алгебр, решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x³ + рх + q = 0 (к к-рому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:

[ris]

Эта формула наз. формулой Кардане, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардана или же заимствована им у др. математиков, нельзя считать вполне решённым. Метод решения алгебр, уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, к-рые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. е. сводили бы решение к извлечениям корней (" решение в радикалах"). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в нач. 19 в. Н. Абель и Э. Га-луа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения я-й степени для любого п, большего или равного 5. Таково, напр., уравнение x⁵ - 4х - 2 =0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебр, уравнений - предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: [ris] (к-рое и выражает собой, что [ris] Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным, но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного. Напр., через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий - сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании Галуа теория продолжает развиваться вплоть до нашего времени. С чисто практич. стороны для вычисления корней ур-ния по заданным коэфф. не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й степеней такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления, тем более уместным, что на практике (напр., в астрономии и технике) и сами коэфф. обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо, с той или иной точностью.

Приближённое вычисление корней алгебр, уравнений является важной задачей вычислит, математики, и к наст, времени разработано огромное число приёмов её решения, в частности с использованием совр. вычислит, техники. Но математика состоит не только из описания способов вычисления. Не менее важна - даже для приложений - другая сторона математики: уметь чисто теоретич. путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебр, уравнений таким является вопрос о числе корней и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положит, и отри-цат. числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение и притом только одно. Но уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действит. чисел; напр., уравнение x² + 2 = 0 не может быть удовлетворено ни при каком положит, или отрицат. х, т. к. слева всегда окажется положит, число, а не нуль. Представление решения в виде[ris] не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицат. числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Ещё раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но и почти во всех разделах математики и её приложений. По мере того как привыкали к мнимым числам, они теряли всякую таинственность и " мнимость", почему теперь их и называют чаще всего не мнимыми, а комплексными числами.

Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n-й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэфф. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы А., была впервые высказана в 17 в.франц. математиком А. Жираром, но первое строгое доказательство её было дано в самом кон. 18 в. К. Гауссом; с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности; т. о., доказательство осн. теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лишний раз неразрывность математич. науки в целом.

Если x_i - один из корней алгебр, уравнения

[ris]

то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на х - x, -. Из основной теоремы А. легко выводится, что всякий многочлен тг-й степени распадается на п таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно:

[ris]

причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.

Таким образом, уравнение n-й степени имеет и корне и. В частных случаях может оказаться, что нек-рые из множителей равны, т. е. нек-рые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше п. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное ещё Декартом " правило знаков": уравнение имеет не больше положит, корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Напр., в рассмотренном выше уравнении x^s- 4х - 2=0 одна перемена знака (первый коэфф.- положительный, остальные - отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положит, корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом. Очень важно, что у уравнения с действит. коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и а - bi Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если нек-рое алгебр, уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у к-рых действит. часть отрицательна, и это заставило искать условия, при к-рых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса - Гурвица проблема).

Многие теоретич. и практич. вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с неск. неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с п неизвестными:
[ris]

Здесь x₁,..., х_п-неизвестные, а коэфф. записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они - простейшие. На практике (напр., для отыскания поправок в астро-номич. вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях и т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями к-рых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэфф. а_ik, и показал, как из этих коэфф. (в случае т = и) строить т. н. определители, при помощи к-рых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы, стали предметом самостоят, изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в наст, время стали частями важной отрасли науки - линейной алгебры.

(По материалам статьи А. Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).