Современное состояние алгебры 1 страница

Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математич. методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т. д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значит, числа отдельных матем. дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений матем. физики и т. д.; более новые - теория информации, теория автоматич. управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математич. аппаратом.

Совр. А., понимаемая как учение об операциях над любыми математич. объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией, в к-рой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для совр. А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над к-рыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула (а + b)² = а² + 2аb + b². Её выводом является цепочка равенств: (а + b)² = (а + b) (а + b)=(а + b)а + (a + b)b = = (а² + bа) + (аb + b²)= а² + (bа + аb) + + b² = а² + 2ab + b². Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности: с(а + b) = са + cb (роль c играет а + b) и (а + b) c = = aс + bc (роль с играют а и b), закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности: ba = ab. Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b, остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в к-рой определены две операции - сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и 6 обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение - как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что аb = bа, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.

Свойства операций над матем. объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебр, систем: группы, линейные пространства, поля, кольца и т. д. Предметом совр. А. в основном является исследование сложившихся алгебр, систем, а также исследование свойств алгебр, систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебр, методов к др. разделам математики и за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебр, геометрия, вычислит, математика, теоретич. физика, кристаллография и т. д.).

Наиболее важными алгебр, системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно (а * b) * с = а * (b * с) при любых а, b, с из группы; звёздочкой. обозначена операция, к-рая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т. е. для любых а и b из группы найдутся единственные х, у, такие, что а * х = b, у * а = b. Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положит, чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы наз. абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабе-левыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. фёдоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через неё в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвлённой, богатой содержанием математич. теорией, имеющей обширную область приложений.

Не менее богатой приложениями является линейная А., изучающая линейные пространства. Под этим названием понимаются алгебр, системы с двумя операциями - сложением и умножением на числа (действительные или комплексные). Относительно сложения объекты (называемые векторами) образуют абелеву группу, операция умножения удовлетворяет естественным требованиям:

[ris]

здесь а и b обозначают числа, х и у - векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа. Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитич. геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислит, аппарат линейной А.

О других алгебр, системах, указанных выше, см. соответствующие статьи и литературу при них. Д.К.Фаддеев.

Лит.: История алгебры. Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.

Классики науки. Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М.- Л., 1938; Ньютон И., Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. с лат., М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем., т. 1 - 2, СПБ, 1768 - 69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 4 - Сочинения по алгебре, М.- Л., 1948; Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936.

Университетские курсы. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 3 изд., М., 1966; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М.- Л., 1948. Монографии по общим вопросам алгебры. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц., [гл. 1-9], М., 1962 - 66; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.

Монографии по специальным разделам алгебры. Шмидт О., Абстрактная теория групп, 2 изд., М.- Л., 1933; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М. -Л., 1934 - 37; Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ, раздел матем. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности или ложности), и логич. операции над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Соз-д-шие А. л. представляло собой попытку решать традиционные логич. задачи алгебр, методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей ччсть первоначального предмета А. л., и дальнейшим развитием матем. логики (последняя четверть 19 в.- 1-я пол. 20 в.) предмет А. л. значительно изменился. Основным предметом А. л. стали высказывания. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно к-рого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: " кит - животное", " все углы - прямые" и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе - ложным. Употребляемые в обычной речи логич. связки " и", " или", " если..., то...", " эквивалентно", частица " не" и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более " сложные" высказывания. Так, из высказываний " x > 2", * x < = 3" при помощи связки " и" можно получить высказывание " x> 2 и x< =З", при помощи связки " или" - высказывание " x> 2 или x< =3", при помощи связки " если..., то..." - высказывание " если x> 2, то x< =3" и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

Связки. Формулы. В А. л. для обозначения истинности вводится символ И и для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0. Связки " и", " или", " если..., то...", " эквивалентно" обозначаются соответственно знаками & (конъюнкция), V (дизъюнкция), -> (импликация), ~ (эквивалентность); для отрицания вводится знак - (чёрточка сверху). Наряду с индивидуальными высказываниями, примеры к-рых приводились выше, в А. л. используются также т. н. переменные высказывания, т. е. такие переменные, значениями к-рых могут быть любые наперёд заданные индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия " сложного" высказывания; через А, В, С,... обозначаются индивидуальные, а через X, У, Z,...- переменные высказывания. Каждая из этих букв наз. формулой. Если знаком * обозначить любую из перечисленных выше связок, а [ris] и[ris]суть формулы, то[ris] суть формулы. Пример формулы: ((Х& У) -> Z). Связки и частица " ие" рассматриваются в А. л. как операции над величинами, принимающими значения 0 и 1, и результатом применения этих операций также являются числа О или 1. Конъюнкция Х& У равна 1 тогда и только тогда (т. и т. т.), когда и X и Y равны 1; дизъюнкция XV У равна О т. и т. т., когда и X и У равны 0; импликация X -> У равна 0 т. и т. т., когда X равно 1, а У равно 0; эквивалентность X ~ У равна 1 т. и т. т., когда значения X и У совпадают; отрицание X равно 1 т. и т. т., когда X равно 0. Введённые операции позволяют каждой формуле при заданных значениях входящих в неё высказываний приписать одно из двух значений 0 или 1. Тем самым каждая формула может одновременно рассматриваться как нек-рый способ задания или реализации т. н. функций А. л., т. е. таких функций, к-рые определены на наборах нулей и единиц и к-рые в качестве значений принимают также. О или 1. Для задания функций А. л. иногда используются таблицы, содержащие все наборы значений переменных и значения функций на этих наборах. Так, напр_._, сводная таблица, задающая функции X, Х& У, XVY, Х-" У и Х~У имеет вид:

Аналогично устроены таблицы для произвольных функций А. л. Это - т. н. табличный способ задания функций А. л. Сами же таблицы иногда называют истинностными таблицами.

Для преобразований формул в равные формулы важную роль в А. л. играют следующие равенства: [ris]

[ris](закон [ris] коммутативности);

[ris](закон ассоциативности); (3)[ris][ris]

(закон поглощения); (4)[ris] = [ris] (закон дистрибутивности); [ris] (закон противоречия); (6) [ris] (закон исключённого третьего);
(7)[ris]

[ris]
Эти равенства, устанавливаемые, напр., с помощью истинностных таблиц, позволяют уже без помощи таблиц получать др. равенства. Методом получения последних являются т. н. тождественные преобразования, к-рые меняют, вообще говоря, выражение, но не функцию, реализуемую этим выражением. Напр., при помощи законов поглощения получается закон идемпотентности [ris] Упомянутые равенства в ряде случаев позволяют существенно упростить запись формул освобождением от " лишних скобок". Так, соотношения (1) и (2) дают возможность вместо формул[ris]

и [ris] использовать более компактную запись [ris] и [ris] Первое из этих выражений наз. конъюнкцией сомножителей[ris]

[ris]а второе - дизъюнкцией слагаемых [ris]. Равенства (5), (6), (7) показывают также, что константы 0 и 1, импликацию и эквивалентность, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Более того, всякая функция А. л. может быть реализована формулой, записываемой с помощью символов[ris]

Нормальные формы. Множество всех формул, в построении к-рых участвуют переменные высказывания, нек-рые из символов[ris] и констант 0 л 1, наз. языком над данными символами и константами. Равенства (1) - (7) показывают, что для всякой формулы в языке над [ris] найдётся равная ей формула в языке над [ris] напр.

Особую [ris] роль в последнем языке играет класс формул, к-рые могут быть записаны в виде [ris] 0 или 1, где[ris] и каждое [ris] - либо переменное высказывание, либо его отрицание, либо конъюнкция таковых, при этом каждое [ris] не содержит одинаковых сомножителей и не содержит сомножителей вида [ris]одновременно и все [ris] - попарно различны. Здесь скобки опускаются, т. к. предполагается, что операция конъюнкции связывает " сильнее", чем дизъюнкция, т. е. при вычислении по заданным значениям переменных следует сначала вычислить значения [ris] Эти выражения наз. дизъюнктивными нормальными формами (днф). Каждую формулу[ris] реализующую функцию, отличную от константы, в языке над[ris] при помощи равенств (1) - (7) можно привести к равной ей днф, содержащей все переменные формулы [ris] и любое число других переменных, причем каждое [ris] в этой днф содержит одни и те же переменные. Такая днф наз. совершенной днф формулы [ris]. Возможность приведения к совершенной днф лежит в основе алгоритма, устанавливающего Равенство или неравенство двух наперёд заданных формул.

Важную роль в А. л. и её приложениях играет т. н. сокращённая днф.Днф наз. сокращённой, если выполнены

следующие условия: ¹ 1) в ней нет таких пар слагаемых [ris] и [ris] что всякий сомножитель из [ris]имеется ив[ris]; 2) для всяких двух таких слагаемых [ris] и [ris], из к-рых один содержит сомножителем нек-рое переменное, а другой - отрицание этого переменного (при условии, что в данной паре слагаемых нет другого переменного, для к-рого это же имеет место), имеется (в этой же днф) слагаемое[ris], равное конъюнкции остальных сомножителей этих двух слагаемых. Всякая днф при помощи равенства (1) - (7) может быть приведена к равной ей сокращённой днф. Напр., сокращённой днф для формулы[ris][ris] является[ris]

Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные фор-мы(кнф). Так называют выражения, к-рые можно получить из днф путём замены в них знаков [ris] на &, а & на [ris]. Напр., из_ днф

[ris]получается кнф[ris]

Операция (или функция) f наз. двойственной для операции [ris], если таблица, задающая f, получается из таблицы, задающей [ris], путём замены в ней всюду 0 на 1 и 1 на 0 (включая замену значений функций). Напр., конъюнкция и дизъюнк-ция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константы 1 и О двойственны друг другу и т. д. Преобразованием формул, при к-ром знаки всех операций в выражении заменяются на знаки двойственных им операций, константа О заменяется на 1, а 1 - на 0, наз. преобразованием двойственности. Если верно равенство [ris] и [ris] двойственно [ris], а [ris] двойственно 33, то верно [ris], называемое двойственным предыдущему. Это т. н. принцип двойственности. Примерами двойственных равенств являются пары законов (1), (2), (3); равенство (5) двойственно равенству (6), каждая кнф двойственна нек-рой днф. Совершенная кнф и сокращённая кнф определяются как такие кнф, что двойственные им выражения являются соответственно совершенной днф и сокращённой днф.

Следствия. Гипотезы. Минимизация. Совершенные и сокращённые днф и кнф используются для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий заданной формулы. Под гипотезой формулы [ris] понимается такая формула [ris], что [ris], а под следствием формулы [ris]- такая формула [ris], что[ris] Гипотеза формулы[ris]наз. простой, если она есть конъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её сомножителей перестаёт быть гипотезой формулы [ris]. Аналогично, следствие формулы наз. простым, если оно есть дизъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её слагаемых перестаёт быть следствием формулы [ris]. Решение задачи обзора гипотез и следствий основано на указании алгоритма, строящего все простые гипотезы и следствия для заданной формулы и в получении из них при помощи законов (2) - (7) всех остальных гипотез и следствий.

Сокращённая днф имеет важные приложения. Следует отметить прежде всего задачу минимизации функций А. л., являющуюся частью т. н. задачи синтеза управляющих систем. Минимизация функций А, л, состоит в построении такой днф для заданной функции А. л., к-рая реализует эту функцию и имеет наименьшее суммарное число сомножителей в своих слагаемых, т. е. имеет минимальную " сложность". Такие днф наз. минимальными. Каждая минимальная днф для заданной отличной от константы функции А. л. получается из сокращённой днф любой формулы, реализующей эту функцию, выбрасыванием нек-рых слагаемых [ris] из этой сокращённой днф.

Языки. Интерпретации. В языке над &, [ris] где знак [ris] интерпретируется как сложение по модулю два, устанавливаются следующие соотношения:

[ris]

Эти равенства позволяют переводить формулы в языке над[ris] в равные им формулы в языке над[ris]. и обратно. Тождественные преобразования в последнем языке осуществляются при помощи равенств, [ris] установленных для конъюнкции

таетcя, что конъюнкция связывает " сильнее", чем знак +. Этих равенств достаточно для того, чтобы из них при помощи тождественных преобразований, так же как и при рассмотрении языка над[ris]

[ris]можно было вывести люОое верное равенство в языке над[ris] Выражение в этом языке наз. приведённым полиномом (п.п.), если оно либо имеет вид[ris]

где каждое [ris] есть или [ris] или переменное, или конъюнкция различных переменных без отрицаний, [ris] при[ris] и [ris] либо равно[ris]. Напр., выражение [ris] является п. п. Всякую формулу А. л. можно привести к п. п.

Кроме рассмотренных языков, существуют и др. языки, равносильные им (два языка наз. равносильными, если при помощи нек-рых правил преобразования каждая формула одного из этих языков переводится в нек-рую равную ей формулу в другом языке и обратно). В основу такого языка достаточно положить любую систему операций (и констант), обладающую тем свойством, что через операции (и константы) этой системы можно представить всякую функцию А, л. Такие системы наз. функционально полными-. Примерами полных систем являются

[ris]и т. п.Существует алгоритм, к-рый по произвольной конечной системе функций А. л. устанавливает её полноту или неполноту. Рассматриваются и такие языки, в основе к-рых лежат системы операций, не являющихся функционально полными, и таких языков бесконечно много. Среди них имеется бесконечно много попарно неравносильных языков (в смысле отсутствия переводимости при помощи тождественных преобразований с одного языка на другой). Однако для всякого языка, построенного на основе тех или иных операций А. л., существует такая конечная система равенств этого языка, что всякое равенство этого языка выводимо при помощи тождественных преобразований из равенств этой системы. Такая система равенств наз. дедуктивно полной системой равенств (п. с. р.) языка.

Рассматривая тот или иной из упомянутых выше языков вместе с нек-рой п. с. р. этого языка, иногда отвлекаются от табличного задания операций, лежащих в основе этого языка, и от того, что значениями его переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации языка, состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями переменных) л системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих равенствам из п. с. р. этого языка. Так, язык над [ris] в результате такого шага превращается в язык т. н. булевой алгебры, язык над[ris] превращается в язык т. н. булевого кольца (с единицей), язык над [ris] в язык дистрибутивной структуры и т. п.

А. л. развивается гл. обр. под влиянием задач, встающих в области её приложений. Из них самую важную роль играют приложения А. л. в теории электрич. схем. Для описания последних в нек-рых случаях приходится отказываться от пользования лишь обычной двузначной А. л. и рассматривать те или иные её многозначные обобщения (см. Многозначная логика).

Лит.: Гильберт Д. и Аккер-м а н Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с ан гл., М., 1948; К л и-н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959. В. Б. Кудрявцев.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в я-мерном пространстве, координаты которых (x₁, х₂,..., х_п) являются решениями системы уравнений:

[ris]

где F_it..., F_m - многочлены от неизвестных x₁, x₂,.., x_п Каждое алгебр, многообразие имеет определённую размерность, к-рая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебр, многообразия, имеющие размерность 1, наз. алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 - алгебраическими поверхностями. Примерами алгебр, кривых могут служить конические сечения.

Два алгебр, многообразия наз. бирационально эквивалентным и, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебр, многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из осн. задач А. г. является построение бирациональных инвариантов для алгебр, многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств матем. анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебр, многообразию. Кроме трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрич. методы проективной геометрии, а также топология, методы (см. Топология). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, напр, род кривой (см. ниже), алгебр, многообразий носят топологич. характер. Особенно большую роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы япон. математика Хиронака, согласно к-рой всякое алгебр, многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек.

Наиболее разработанная часть А. г. - теория алгебр- кривых. Основным бира-циональным инвариантом алгебр, кривой является её род. Если алгебр, кривая плоская, т. е. задаётся в декартовых координатах ур-нием F(x, у) = 0, то род кривой g = (m -l)(m -2)/2 - d, где m - порядок кривой, ad - число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирацио-нально эквивалентны прямым, т. е, параметрически могут быть заданы при помощи рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими функциями и поэтому наз. эллиптич. кривыми. Кривые рода больше 1 могут быть параметризованы с помощью автоморфных функций. Каждая кривая рода g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно определяется 3g - 3 комплексными параметрами, к-рые сами пробегают нек-рое алгебр-многообразие.

В многомерном случае наиболее изученный класс алгебр, многообразий образуют абелевы многообразия. Это - замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями. Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным. Алгебр, кривая является абе левым многообразием тогда и только тогда, когда она имеет род 1, т. е. является эллиптич. кривой.

Теория алгебр, кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая алгебр, кривая рода, большего 0, канонически погружается в нек-рое абелево многообразие, наз. якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет самоё кривую.

Исторически А. г. возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. А. г. постепенно переходит от изучения спец. классов кривых и поверхностей к постановке общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая А. г. была построена в кон. 19 и нач. 20 вв. в трудах нем. математика М. Нётера, итал. математиков Ф. Энрикеса, Ф. Севе-ри и др. Своего расцвета А. г. достигает в 20 в. (работы франц. математика А. Вей-ля, амер. математика С. Лефшеца и др.). Крупные достижения в А. г. имеют сов. математики Н. Г. Чеботарёв, И. Г. Петровский, И. Р. Шафаревич.

А. г. является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики..Методы А. г. оказывают огромное влияние на такие смежные с А. г. разделы математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также на более далёкие от А. г. разделы математики - такие, как уравнения в частных производных, алгебр, топология, теория групп и др.

Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Чеботарёв Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; ХоджВ., ПидоД., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1 - 3, М., 1954 - 55; Алгебраические поверхности, М., 1965; W e i I A., Foundations of algebraic geometry, N. Y., 1946.

Б. Б. Венков.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебр, уравнением. См. Алгебраическая геометрия.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, поверхность, задаваемая в декартовых координатах алгебр, уравнением. См. Алгебраическая геометрия.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные много[ris]

рациональными, а прочие А. ф.- иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [напр., [ris]

[ris]. Однако существуют А. ф., к-рые невозможно выразить через радикалы [напр., функция у = f (x), удовлетворяющая ур-нию: у⁵ + 5ух⁴ + + 5x⁵ = 0]. Примерами неалгебр., т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная х^a (если а - иррациональное число), показательная а^x, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математич. дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют спец. класс аналитич. функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая А. ф. многих переменных u =f(x, у, z,...) определяется как функция, удовлетворяющая ур-нию вида:

[ris]

где[ris] - какие-либо многочлены относительно х, у, z,.... Всё выражение, стоящее в левой части, представляет нек-рый многочлен относительно x, у, z,... и u. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен Р₀ можно считать не равным тождественно нулю. Если п - 1, то и представляет рациональную функцию (u = -P₁/Р₀), частным случаем к-рой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P₀=const < > 0). При n> 1 получается иррациональная функция; если п = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если п = 3 или п = 4, то для и получается выражение, содержащее квадратные и кубич. корни.

При n> = 5 иррациональная функция и уже не может быть выражена (в общем случае) через конечное число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитич. функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарёв Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948.