Методику подбора теоретической кривой распределения по данным наблюдений рассмотрим на примере.

Пример 1. При анализе организации наладки оборудования проводилась фотография моментов вызова наладчиков, на основе которой были определены промежутки времени между этими моментами, минимальное и максимальное значения промежутков Зафиксировано вызовов. Данные в упорядоченном виде представлены в таблице 2. Требуется по данным наблюдений подобрать теоретический закон распределения промежутков времени между вызовами наладчиков.

Упорядочение заданного объема статистических данных

Данные в том виде, как они получаются в результате наблюдений или эксперимента, представляют собой беспорядочный набор информации. Для научного исследования их необходимо упорядочить. Первым шагом при этом является сводка данных, в результате которой получается статистический ряд или таблица распределений. При сводке данных находят минимальное и максимальное значения случайной величины (СВ) и определяют количество разрядов, в которые можно объединить все имеющиеся значения СВ.

Чтобы ясней выступали характерные особенности СВ, количество разрядов обычно принимают равным разряда. Длина каждого разряда определяется отношением и округляется до ближайшего удобного числа. Примем тогда Начинаем заполнять расчетную таблицу 2. Составляем статистический ряд, для чего определяем границы разрядов, их середины и подсчитываем численность разрядов, т.е. абсолютную частоту разрядов

Построение эмпирической плотности распределения (гистограммы). Определяем относительную частоту каждого разряда Сумма абсолютных частот равна объему выборки сумма относительных частот равна 1.

Для дискретной случайной величины (ДСВ) строят полигон частот, для непрерывной СВ строят эмпирическую плотность распределения , определяемую отношением относительной час­тоты разряда к его длине

Графическое изображение эмпирической плотности распределения называют гистограммой распределения относительных частот. Гистограмма строится следующим образом. По оси времени Т откладываем границы разрядов (рис.3) и на каждом из разрядов как на основании строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте данного разряда, т.е. высота прямоугольника равна эмпирической плотности распределения каждого разряда. Площадь всей гистограммы равна 1.

Таблица 2. Результаты расчета

Середины разрядов , мин
		0, 5028	0, 0251	5, 028	0, 0237	0, 4752	0, 0016
		0, 24	0, 012	7, 2	0, 0122	0, 2452	0, 000112
		0, 0971	0, 0048	4, 857	0, 0063	0, 1265	0, 00683
		0, 1085	0, 0054	7, 6	0, 0032	0, 0653	0, 0286
		0, 0228	0, 0011	2, 057	0, 0008	0, 0336	0, 00348
		0, 0114	0, 0005	1, 257	0, 0004	0, 0174	0, 002042
		0, 0171	0, 0008	2, 228	0, 0002	0, 0089	0, 00744
				30, 22

Следовательно, для построения гистограммы необходимо выполнить в таблице 2 расчет относительных частот и эмпирической плотности распределения разрядов.

Подбор теоретической кривой распределения (выравнивание статистических рядов). Задача выравнивания статистических рядов заключается в том, чтобы подобрать плавную теоретическую кривую распределения, которая наилучшим образом описала бы статистический ряд. Принципиальный вид теоретической кривой выбирается чаще всего по виду гистограммы. Для рассматриваемого примера по виду гистограммы можно предположить, что эмпирическая плотность распределения описывается показательным законом.

Теоретический закон распределения зависит от некоторых параметров, в данном случае от параметра Поэтому задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора параметров, при которых расхождения между теоретической кривой распределения и статистическим распределением будут минимальными. Для этой цели используют метод моментов, согласно которому параметры выбираются так, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Следовательно, необходимо определить по выборке выборочное среднее и определить параметр показательного закона распределения.

Определяем по таблице 2 выборочное среднее

Тогда

Продолжаем заполнять таблицу 2, в которой определяем значения плотности распределения для представителей разрядов По этим значениям строим теоретическую кривую распределения на рис.3.

Проверка согласованности теоретического и статистического распределений. После того как построена теоретическая кривая распределения, необходимо решить вопрос о согласованности теоретического и статистического распределений. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и гистограммой распределения будут расхождения. Возникает вопрос: расхождения эти случайны вследствие малого объема выборки или подобранная кривая плохо выравнивает гистограмму и нужно подбирать новую теоретическую кривую.

Для ответа на этот вопрос служит критерий согласия - специально подобранная переменная, по величине которой устанавливают на принятом уровне значимости согласие или несогласие принятой гипотезы с данными наблюдений.

Имеется несколько критериев согласия: (хи-квадрат) Пирсона, Колмогорова, Романовского, Смирнова и др.

Рис. 3. Гистограмма и кривая распределения

Проще всего выполнять проверку по критерию Романовского

где - - мера расхождения Пирсона, определяемая соотношением

- число степеней свободы распределения.

Число степеней свободы распределения равно разности между количеством разрядов и количеством наложенных на частоты связей S и показывает, сколько разрядных клеток может быть заполнено произвольно, если учесть число наложенных связей. Число наложенных связей зависит от закона распределения.

Для всех законов распределения требуется, чтобы сумма относительных частот была равна 1, т.е. Часто требуется при подборе теоретического закона совпадения теоретического и статистического математического ожидания. Для показательного закона , т.е. для показательного закона распределения число наложенных связей S=2. Тогда

Меpy расхождения считаем также в таблице 2. Выполняем проверку согласованности по критерию Романовского:

|8, 782 -5|/ = 1, 196 < 3,

т.е. расхождения случайны, и нет причин отвергать гипотезу о том, что промежутки времени между появлениями вызовов подчиняются показательному закону распределения.

Размещение информации и результаты решения представлены в таблице 3, расчетные формулы - в таблице 4.

Таблица 3. Размещение информации на рабочем листе ЭТ

Таблица 4. Расчетные формулы

Примечание. Ячейка В9 содержит объем выборки, для рассматриваемого примера объем выборки равен 175.

Так как величина мала, то для избежания больших погрешностей поступают следующим образом: подбирают теоретическую кривую по данным наблюдений различными методами и определяют среднее значение этого параметра. Рассмотрим подбор теоретической кривой с помощью метода наименьших квадратов и путем построения линии тренда.