Теплопроводность при нестационарном режиме

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Нестационарные тепловые процессы сопровождаются не только изменением температурного поля по времени, но почти всегда связаны с изменением энтальпии тела, т. е. с его нагревом и охлаждением. Практические задачи нестационарного теплообмена можно разделить на две основные группы. К первой относятся процессы, происходящие при переходе тепла из некоторого начального теплового состояния в иное стационарное, обычно равновесное тепловое состояние. Примерами могут служить изменение температурного поля в теле, помещенном в среду, температура которой отличается от начальной температуры тела, или выравнивание температур в теле с заданным начальным распределением температур. Ко второй группе можно отнести процессы, происходящие в телах, испытывающих тепловое воздействие извне, изменяющиеся во времени по некоторому закону. Здесь можно назвать процессы периодического изменения температуры при движении ИСЗ по орбите, часть которой пролегает в тени Земли, суточные и годовые колебания температуры в верхних слоях земной коры, тепловые режимы аппаратов, находящихся на поверхности Луны, процессы в регенеративных теплообменниках и др. В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделить три этапа, характеризующиеся различными режимами, из которых собственно не­стационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в теле определяется не только изменившимся тепловым воздействием, например изме­нением температуры окружающей среды, но и начальным распределением темпе­ратур в теле T₀(x, y, z) при т = 0. Поскольку начальное температурное поле в общем случае может быть весьма произвольным, то и тепловой режим на этом первом этапе носит характер неупорядоченного процесса. На втором этапе влияние начального состояния все более и более ослабевает, и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями на границе тела, т. е. наступает режим упорядоченного процесса, в частности, регулярный режим. Для большинства процессов первой группы характерен еще и третий этап, в котором температура тела во всех точках одинакова и равна температуре окружающей среды. Это состояние называют состоянием теплового равновесия. Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступает лишь по прошествии бесконечно большого промежутка времени. Однако на практике тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого к состоянию теплового равновесия, поэтому и интересующие нас длительности нестационарных режимов отнюдь не бесконечны. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Выведенное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье— Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и отсутствия внутренних источников тепла имеет вид где a = Л/(ср) и V² — оператор Лапласа, записанный в прямоугольной, цилиндрической, сферической или иной системах координат. Это уравнение устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами тела в элементарном объеме, т. е. связывает временные и пространственные изменения температуры тела.Если заданы форма и размеры тела, а также его физические свойства (Л, с, р,...), т. е. геометрические и физические условия однозначности, то для решения уравнения (4.1) необходимо задать еще начальные и граничные, или краевые условия.Поскольку температура тела в общем случае является функцией координат и времени f (x, y, z, т), то начальные условия, т. е. распределение температур в теле в начальный момент, задаются в виде f (x, y, z, 0) = f₀(x, y, z), где f₀ — известная функция, которая необязательно должна быть задана аналитически, а может быть представлена численно или графически. В ряде практических задач начальное условие имеет более простой вид: f (x, У, z, 0) = To = const. Для однородных тел граничные условия могут быть заданы трех видов: температура любой точки поверхности тела в любой момент времени; тепловой поток у поверхности, либо температура среды, омывающей тело; условия теплообмена тела с окружающей средой. В отличие от стационарных задач все величины, входящие в граничные условия, могут изменяться во времени по заданному закону.