Незатухающие плоские волны.

Идеализацией в описании ЭМО является использование концепции незатухающих плоских волн, справедливой для свободного протранства без потерь.

Уравнения (30), (32) имеет различные виды решений, в том числе в виде плоской электромагнитной волны, когда векторы взаимно перпендикулярны, изменяются во времени , и не имеют составляющих в направлении распространения z.

Положим, что вектор совпадает с осью x тогда при этом в направлении распространения

Получим:

(35)

- амплитуды напряженностей ЭМП.

должны удовлетворять волновому уравнению.

Полагаем сначала , т.е. среда непроводящая.

Подставляя (35) в (30) или (31) получим:

(36)

Таким образом, возможны две волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси z. Решение волнового уравнения представим в виде:

Скорость распространения ЭМВ: , в вакууме

Коэффициент преломления

(37)

амплитуды падающей и отраженной волн.

Напряженности E и H, кроме волнового уравнения, должны удовлетворять уравнениям Максвелла:

(38)

Откуда

, или
	(39)

Знак “+” для волны, распространяющейся вдоль , “-“ – для волны вдоль

- внутреннее (волновое) сопротивление среды.

Выражения для компонент поля принимают вид:

- соответственно амплитуды падающей и отраженной волн напряженности H.

Наклонное падение ЭМВ.

Пространство может состоять из нескольких сред с различными характеристиками, поэтому важно рассмотреть более общий случай, когда плоская волна падает под углом к поверхности раздела двух сред, в качестве которой выбрана плоскость z=0.

1. Случай Ох (Н-волна или ТЕ-волна)

Введем новую систему координат , в которой ЭМВ – плоская.

Тогда

Составляющие векторов в старой системе координат равны:

Из уравнения Максвелла следует:

при .

Т.о. в системе координат, в которой плоская волна падает наклонно, внутреннее сопротивление среды зависит от угла падения на поверхность раздела сред с параметрами и .

На поверхности z=0 должны удовлетворятся граничные условия -непрерывность .

Поле в среде :

(41)

Поле в среде

(42)

На границе раздела z=0, экспоненциальные функции должны сократиться, т.е. справедливо выражение:

(43)

Тогда граничные условия с учетом z=0 и (41)-(43) приведут к выражениям:

(44)

	(45)
	(46)

Кроме того, можно получить ряд известных соотношений:

Из(43) следует закон Снелиуса:

(47)

Из (44), (45)

(48)

или

(49)

Граничные условия – непрерывность - сводятся к равенству внутренних сопротивлений по обе стороны границы раздела.

Из (49) следует:

,

(50)

Г - коэффициент отражения.

1. Случай ||Ох (E- волна или TH- волна).

Аналогичные (как и в случае 1) рассуждения приводят к выражению:

(51)

Коэффициент отражения принимает вид:

	(52)

- второе уравнение Френеля

Если θ + θ ’=90 , то Г=0, т.е. согласование сопротивлений двух сред выполняется автоматически Z(θ)=Z(θ ^’). Угол θ удовлетворяющий условию θ = 90 - θ ^’, называется углом поляризации.

Если неполяризованное излучение падает под таким углом, то отразится только поперечная электрическая волна (H - волна), а E -волна пройдет полностью через границу раздела.

Из закона Снелиуса следует для угла поляризации:

(53)

1.6. Затухающие плоские волны

Решениями уравнений Максвелла и соответственно, волновых уравнений будут затухающие плоские волны, если удельная проводимость среды .

Подставляя в (32) решение в виде получим характеристическое уравнение:

(54)

т.е.

(55)

Для незатухающих плоских волн постоянная распространения является чисто мнимой величиной

в случае затухающих плоских волн комплексное число.

Оценим выражение в (55) для меди, если удельное сопротивление меди , или удельная проводимость

;

Для ЭМВ с длиной волны и в выражении (55) первый член, представляющий токи смещения, очень мал по сравнению со вторым членом, характеризующим токи проводимости. Значения лишь в диапазоне длин волн , т.е. в ультрафиолетовом диапазоне.

К примеру, для морской воды () справедливо выражение:

В данном случае, если , - оба слагаемых в скобках выражения (55) будут одного порядка.

Отношение называют еще тангенсом угла потерь и обозначают:

(56)

Физический смысл наглядно представляется из закона сохранения заряда:

C учетом получим уравнение

(57)

решение которого имеет вид:

(58)

Здесь время, за которое плотность заряда упадет в e раз, (время релаксации заряда внутри проводника);

плотность заряда при t =0.

С учетом τ, запишем:

(59)

Здесь - период колебаний.

Т.о. , если время релаксации сравнимо с периодом колебаний.

В хороших металлах справедливо выражение:

(60)

Если положить , то

(61)

На основании (60) и (61) выражения для имеют вид:

Т.е. напряженность поля уменьшается в е раз на расстоянии , а скорость распространения определяется формулой:

(62)

Обозначим - глубину проникновения ЭМВ:

(63)

длина волны в пустоте.

Для меди

При поле внутри проводника убывает в е раз на расстоянии

В случае морской воды для

Сравним скорость распространения со скоростью света

(64)

Для меди при

т.е. порядка скорости акустических волн.

Внутреннее сопротивление проводящей среды:

является малой величиной, т.е.

Коэффициент отражения Г, определяемый по формуле:

приобретает вид:

,

(65)

при этом, модуль коэффициента отражения п мощности равен:

(66)

а отношение:

2. Излучение электромагнитных волн.

Возможность излучения электромагнитной энергии (ЭМЭ) без проводов следует и того факта, что электрический ток может циркулировать в диэлектрике и в свободном пространстве в виде тока смещения, который тоже образует магнитное поле, наряду с током проводимости. Иными словами, диэлектрик, как и свободное пространство, является проводником для тока смещения.

Любая система, создающая в пространстве токи смещения, является излучателем ЭМЭ. Пример такой системы представлен на рис 2.1.

Рис. 2.1 Излучение открытого конденсатора и дипольГерца.

В теории излучения выделяют внутреннюю и внешнюю задачи.

Внутренняя задача: По заданному распределению поля найти распределение амплитуд и фаз источников (токов) на излучателе или распределение поля на поверхности, внутри которой находятся источники.

Внешняя задача заключается в нахождении распределения поля в пространстве по заданному распределению источников, или по заданному распределению поля на некоторой поверхности.

Задача теории излучения может быть решена с помощью системы уравнений Максвелла с учетом граничных условий на поверхности излучателя.

Конфигурация излучающей системы – антенны, - достаточно сложная, поэтому расчеты излучаемых ЭМП часто ведутся путем представления антенны в виде набора элементарных излучателей.

Рассмотрим элементарный вибратор, которым может являться отрезок провода длиной , - длина волны.

Условие позволяет допустить, что по всей длине вибратора ток имеет постоянную амплитуду и фазу. Такая идеализация применима к вибратору Герца, имеющему на концах проводников шары, обладающие большой емкостью.

Полагая колебания гармоническими, можно выразить скалярный потенциал через векторный потенциал из соотношения (Лоренцова калибровка):

(1)

Т.к. , то , а с учетом получаем выражение для напряженности электрического поля:

,

(2)

позволяющее совместно с формулой рассчитать все компоненты ЭМП (если только известен вектор ).

В случае элементарного вибратора (рис. 2.2) ток по всей длине вибратора , и если, кроме того, , то интегральное выражение для упрощается, т.е. выражение:

при условии ; ; принимает вид:

(3)

Рис. 2.2 Элементарный вибратор

В прямоугольной системе координат полагаем

,,

(4)

В этом случае справедливы выражения для вектора :

; ,

(5)

для скаляра

(5’)

На основании (2) получим выражение для компонентов вектора Е:

(6)

и вектора Н:

(7)

С учетом (3), а также

, , ,

(8)

получим:

(9)

, ,

(10)

Выражения для компонент поля упрощаются в сферической системе координат, которую вводят по правилу (рис.2.3):

Рис.2.3 Правило перевода в сферическую систему координат.

; ; ;

(11)

Новые компоненты поля , , , , , определяются выражениями:

(12)

Векторы и взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим характерные области излучения, определяемые расстоянием от источника до точки наблюдения .

Ближняя зона .

В этом случае можно пренебречь в (12) членами, содержащими и в формулах для , а так же в формулах для , получим:

(13)

Подставим , в этом случае для компонент электрического поля справедливы выражения:

(14)

В (14) коэффициенты и совпадают с известными выражениями для составляющих вектора электрического диполя, состоящего из двух зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга.

Фазовый множитель .

Т.о. можно констатировать, что:

1. Вектор вибратора на малых расстояниях меняется синфазно с изменением момента , а амплитуда вибратора такая же, как у электростатического диполя.

2. Амплитуда вибратора равна амплитуде напряженности проводника с током (закон Био и Савара):

3. Векторы и электромагнитного поля сдвинуты по фазе на .

Дальняя зона - зона дифракции Фраунгофера.

Пренебрегая в (12) членами, содержащими и , получим:

(15)

Здесь .

Из (15) следует выражение:

,

(16)

- волновое сопротивление среды, в которой распространяется ЭМП.

Отметим особенности дальней зоны ЭМП:

1. Амплитуды и пропорциональны .

2. При заданных значениях амплитуды и частоты тока напряженность и не зависит от .

3. При тех же условиях .

4. .

5. Векторы и находятся в фазе.

6⁰. Амплитуды и пропорциональны , т.е. при заданных значениях тока и длины диполя значения и тем больше, чем короче .

Промежуточная зона – зона Френеля.

Зона Френеля является промежуточной между ближней и дальней, поэтому в формулах для компонент векторов и пренебрегать какими-либо членами нельзя. Однако упрощения выражений для компонент ЭМП можно достичь, рассматривая поле в плоскости, перпендикулярной диполю, в которой компонента (рис.2.4).

Тогда характеризует все электрическое поле диполя, и можно воспользоваться формулой для дальней зоны (15). Подставив в (15) , получим:

(17)

Рис.2.4 Напряженность в различных зонах облучения

На рисунке обозначены:

1 – дальняя зона, 2 – средняя зона, 3 – ближняя зона.

Граница “средняя зона – дальняя зона” является условной и может определяться в соответствии с различными критериями, например:

а) из условия, когда погрешность измерений коэффициента усиления антенны за счет квадратичного члена не более 2%, расстояние до “дальней зоны” можно оценить как:

,

(18)

где - раскрыв антенны ;

б) из условия максимального отклонения фазы в раскрыве антенны , следует оценка , совпадающая с (18):

Мощность, излучаемая вибратором.

Мощность ЭМП вибратора можно определить как поток вектора Пойнтинга через поверхность , окружающую вибратор:

,

(19)

где ,

- нормаль к поверхности ,

- составляющая вектора Пойнтинга, перпендикулярная к , при этом (рис.2.5):

Выражение (19) примет вид:

(20)

Энергия в направлении через единицу площади поверхности шара определяется составляющими векторов , , перпендикулярных .

По теореме Умова-Пойнтинга:

Рис. 2.5

; ,

где , , - единичные вектора в направлении возрастания , , .

Т.о. - для мгновенных значений, т.к. , - гармонические функции. Тогда

,

(21)

Результат интегрирования не зависит от радиуса сферы, и для упрощения выберем достаточно большим, чтобы сфера оказалась в дальней зоне излучения, в которой , и тогда:

(22)

в дальней зоне. Полученное выражение справедливо для любой антенны, у которой - амплитуда поля в дальней зоне, т.е.

Выражение для мощности излучения принимает вид:

	(23)

Сопротивление излучения определяется формулой и выражением (23):

(24)

В реальном вибраторе полное сопротивление излучения содержит также сопротивление потерь в проводах вибратора и в окружающей среде.

Диаграмма направленности одиночного провода.

Провод будем рассматривать как сумму элементарных вибраторов длиной l (рис. 2.6). Напряженность поля в дальней зоне

Рис. 2.6 Одиночный провод

Введем функцию называемую диаграммой направленности (ДН), а поле в дальней зоне представим в виде, удобном для экспериментальных исследований (см.[2.1])

(25)

На рис. 2.7 показаны ДН для случаев, когда провод обтекается бегущей волной тока (а), стоячей волной тока (б), а также ДН симметричного вибратора, часто используемого на практике.

а) Провод, обтекаемый бегущей волной тока.

б) Провод, обтекаемый стоячей волной тока.