Приклад 3. Тонке кільце радіусом несе заряд з рівномірно розподіленою лінійною густиною

Тонке кільце радіусом несе заряд з рівномірно розподіленою лінійною густиною . Визначити напруженість електростатичного поля в точці, що рівновіддалена від усіх точок кільця на відстань .

Дано:

Рисунок 13

Розв’язування

Розмістимо прямокутну систему координат так, щоб кільце лежало в координатній площині ХОY, а початок координат О збігався з центром кільця (див. рис. 13).

При цьому точка М, що знаходиться на осі OZ, рівновіддалена від усіх точок кільця на відстань . Для обчислення напруженості поля заряду, що знаходиться на кільці, розділимо довжину кільця на елементи дуги . Заряд на такому елементі дуги дорівнює . Напруженість поля цього заряду:

.

Напрямок збігається з напрямком радіуса-вектора , проведеного з точки, що лежить на середині елемента дуги , в точку М.

Розкладемо вектор на дві складові: в напрямку осі OZ і в напрямку , перпендикулярному до .

Скориставшись міркуванням симетрії, побачимо, що сума всіх векторів дорівнює нулю. Сума складових , які перпендикулярні до площини кільця і мають однаковий напрямок (вздовж осі OZ), можна виразити інтегралом

, .

З трикутника знайдемо . Врахувавши, що (теорема Піфагора),

.

Підставимо значення в отриману формулу і знайдемо робочу формулу для обчислення напруженості поля зарядженого кільця в точці М:

.

Обчислимо значення напруженості поля:

.

Відповідь: 30850 .