Неопределённый интеграл, простейшие свойства.

Раздел 9. Неопределённый интеграл.

1. Неопределённый интеграл, простейшие свойства.

2. Интегрирование методом замены переменной.

3. Метод интегрирования по частям.

Неопределённый интеграл, простейшие свойства.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если

Пример 1. Функция F(x)= для функции f(x)= , поскольку .

Нетрудно догадаться, что и вообще, , где также являются первообразными для Другими словами, ясно, что если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то всякая функции F(x)+c, где также является первообразной для f(x), поскольку Возникает вопрос: есть ли ещё какие-нибудь первообразные для f(x), кроме F(x)+c.

Теорема. Все первообразные для функции f(x) находятся в множестве F(x)+c, где с – любое число (это множество принято называть семейством первообразных).

Для доказательства возьмём две любые первообразные функции для f(x): F(x) и Ф(x). Рассмотрим их разность Поскольку

то из условия постоянства функций следует, что

т.е. любая первообразная где какая-нибудь первообразная.

Определение. Семейство всех первообразных F(x)+c для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

. Итак, по определению

=F(x)+c. (1)

Замечание. Понятие неопределенного интеграла впервые появляются в трудах И.Ньютона. Причём в его работах ещё не используется удобное и привычное теперь обозначение (1). Историю этого обозначения расскажем чуть позже.

Пример 2. (см. пример 1)

Пример 3.

Знак модуля в правой части поставлен для того, чтобы области определения обеих частей формулы совпадали.

Из определения ясно, что нахождение неопределённых интегралов является операцией, обратной дифференцированию. Поэтому по таблице производных, прочитав её «справа налево», легко написать таблицу интегралов.

1) 8)

2) 8^*)

3) 9)

9^*)

4) 10) ln |x+ +с

5) 11) |+c

6)

7)

Здесь приведена общепринятая минимальная таблица интегралов. Все формулы, кроме 8^*, 9^*, 10, 11, следуют из таблицы производных, а упомянутые 4 формулы надо знать обязательно, их легко доказать дифференцированием.

Из определения легко следуют свойства неопределённого интеграла.

1⁰.

Кратко говорят: «интеграл от суммы равен сумме интегралов».

2⁰. постоянный множитель можно выносить (вносить) за знак «интеграла».

Свойства 1, 2 называют свойствами линейности неопределенного интеграла.

3⁰. или

4⁰.( или

Свойства 3⁰ и 4⁰ непосредственно следует из определения (1) и наглядно показывают, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными.

Решим пример, опираясь исключительно на таблицу интегралов.

Пример 4. Вычислим интеграл

Как это часто бывает в математике и как мы убедимся далее, обратная операция (интегрирование) оказывается значительно сложнее прямой (дифференцирование). Можно кратко сказать так: умение интегрировать складывается из безупречного знания таблицы интегралов и навыков применения двух методов интегрирования-метода замены переменной и метода интегрирования по частям.