Метод интегрирования по частям.

Этот метод определяется формулой

(5)

где функции.

Методику применения этой формулы лучше всего понять на примерах.

Пример 16. Вычислить интеграл

Решение. Если при использовании метода замены переменной мы пытались обнаружить связь функций, стоящих под знаком интеграла, то глядя на подынтегральное выражение данного интеграла, сразу заметим, что в него входят функции разной природы: алгебраическая функция и тригонометрическая . По отдельности каждая из них легко интегрируется, а вместе они скорее «мешают» друг другу и возникает желание их разделить. Это разделение и осуществляет формула (5). Обозначим тогда а для нахождения функции надо проинтегрировать: Заметим, что нам требуется найти какую-нибудь одну первообразную, поэтому возьмём с = 0.

Подставляя найденные выражения в правую часть формулы (5), получим

Оформлять решение будем следующим образом:

Пример 17. Вычислить интеграл

Решение. Интегрирование по частям можно применять несколько раз, что и надо сделать в данном примере.

Пример 18.

замена переменной:

Пример 19.

dx= xlnx – x+C=

=x(lnx – 1)+C.