Интегрирование методом замены переменной.

Метод замены переменной даётся формулой:

Замечание 1. Если в процессе решения потребуется сделать какие-то промежуточные выкладки и пояснения, мы будем их заключать в прямые скобки, как это сделано в формуле (2).

Замечание 2. Формулу (2) можно применять как «слева направо» так и «справа налево». В последнем случае формулу (2) перепишем в следующем виде:

(3)

Рассмотрим сначала примеры на применение формулы (3).Смысл этой формулы состоит в том, что, как отчётливо видно, под знаком интеграла находится некоторая функция и её производная , а значит и её дифференциал Отсюда и следует замена переменной:

Тогда, во-первых, таблицу интегралов можно переписать в более общем виде:

1) +c,

2)

3) +c, 4) (x)+c,

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Или на конкретном примере.

Пример 5. x .

Вглядимся в подынтегральное выражение, находим там функцию g(x)=sin x и её производную cos x, следовательно, «напрашивается» замена переменной (подстановка) sin x=t. Оформим решение в форме (3):

Проверка: 6 cosx= получили подынтегральную функцию.

Пример 6. +7x+5=t = = dt= dt= +c= +c= +c.

Пример 7. Пусть известно, что . Вычислим интеграл:

F(t)+c= F(kx+b)+c.

Итак,

Запомним формулу (4), она экономит много времени на вычисление интегралов от функций линейного аргумента(kx+b).

В соответствии с формулой (4)можно переписать таблицу интегралов:

1) 2) ,

3) dx= +c, 4)

5) 6) tg(kx+b)+c,

7) 8)

9) arctg 10) = +c,

11) +c.

Конечно, эту таблицу не надо запоминать, - надо лишь просмотреть её, сравнив с основной таблицей интегралов, и понять суть формулы (4).

При = cosx= t = = - ln +C=

= - ln +C.

Пример 9. Вычислить интеграл

Простой по внешнему виду интеграл, но в приведённых таблицах мы не находим подходящего. В таких случаях нужны искусственные приёмы. Надо иметь в виду следующее замечание: для вычисления одного и того же интеграла очень часто можно предложить несколько приёмов. При этом могут получиться ответы, не похожие по внешнему виду. Они будут тождествами, хотя внешний вид различный. Для данного интеграла предложим два приёма:

1-й приём: домножим числитель и знаменатель на

= - .

2-й приём.

= , dx=2

= ln| .

Как видим, ответы получились разными по внешнему виду, но, как можно доказать «школьной» математикой, они тождественно равны (точнее, отличаются на постоянное число).

Пример 10. dx=|

=

Последние примеры показывают, что не всегда легко догадаться до нужной подстановки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 11.

В этом примере в квадратном трёхчлене был выделен полный квадрат для того, чтобы легче было увидеть табличные формулы.

В следующем интеграле появляется так называемая простейшая иррациональность, когда под радикалами стоит линейное выражение. С помощью предложенной подстановки «избавляемся» от иррациональности.

Пример 12.

1+c

В следующем интеграле более сложная иррациональность – квадратическая, применяются тригонометрические подстановки.

Пример 13.

= 2costdt t =

sin (4 arcsin ) +c.

Пример 14. x=

+C.

Пример 15.

=