И определение критического параметра нагрузки

Возможны два решения системы (1.6):

1) Z 0 – нетривиальное; 2) Z = 0 – тривиальное.

Нетривиальное решение, когда все или хотя бы часть компонен­тов вектора узловых перемещений Z ненулевые, описывает изгибную форму равновесия (по сути, неравенство Z 0 выражает условие существования альтернативной формы равновесия, качественно отличной от исходной).

висимое искривление нес­кольких

(двух и более) или всех элементов.

Если же число введенных связей в

ос­новной системе превышает ми-

нимально необходимое, то нетри-

виальное решение может описывать либо общую потерю устойчивости (в случае, когда отличны от нуля перемещения по направлениям необходимых связей), либо местную (локальную) потерю устойчивости какого-либо элемента в отдельности (при этом не равны нулю перемещения по направлению избыточных, т.е. введенных сверх необходимых, связей, а перемещения узлов заданной сис­темы нулевые). Заметим, что возможна местная потеря устойчивости одновременно нескольких стержней, но, в отличие от общей потери устойчивости, искривления элементов при этом будут независимыми. Математически это выражается в неопределенности отношения соответствующих перемещений.

Условием получения отличного от нуля решения системы линейных однородных алгебраических уравнений, какизвестно, является обращение в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных:

(1.15)

Равенство (1.15), называемое уравнением устойчивости, выражает условие существования изгибной (альтернативной по отношению к исходной) формы равновесия системы. С математической точки зрения (1.15) является характеристическим уравнением задачи. Анализ уравнения и способов его решения будет дан ниже.

С помощью уравнения устойчивости находится критический параметр нагрузки, а затем определяется новая форма равновесия системы (о ней принято говорить также как о форме потери устойчивости). Форма потери устойчивости, выявляемая нетривиальным решением задачи, называется явной.

Тривиальное решение Z = 0относится к такой форме равно-

весия системы, которая характеризуется отсутствием перемещений узлов. Первое и наиболее очевидное физи­ческое истолкование тривиального решения: оно описывает исходную безызгибную форму равновесия системы. Этот случай не представляет интереса с точки зрения расчета на устойчивость. Но есть и второе объяснение, справедливое для ряда систем: тривиальному ре-шению отвечает некоторая особая форма потери устойчивости.

F 2   F 1 а)

Z 2 F 1 F 2 б)

MCL MBK F 2 L H H д) в) г) MKB = MBK C F 2 B K D C F 2 F 2 F 1 F 1

Рис. 1.3

Например, если для расчета системы, представленной на рис. 1.3, а, выбрать основную систему только с необходимыми связями (рис. 1.3, б), то возможное искривление стоек нижнего этажа не поддается описанию с помощью выбранных основных неизвестных Z ₁, …, Z ₄.

Если локальная потеря устойчивости стержней реализуется раньше общей (при меньшем значении параметра нагрузки), например, при «слабых» – очень гибких – стойках нижнего этажа (см. рис. 1.3), то в этом случае Z = 0, что соответствует тривиальному решению. Таким обра­зом, нулевому вектору Z отвечает не только исходная форма равновесия системы, но и скрытые (т.е. не обнаруживаемые решением при Z 0) формы потери устойчивости. Принципиально важно то, что скрытыми могут быть только локальные формы.

Возможность существования скрытых форм обусловлена, во-пер­вых, структурой заданной системы, и, во-вторых, выбором основной системы. В системах, где невозможна местная потеря устойчивости, скрытые формы отсутствуют. Не может быть местной, а следовательно, и скрытой потери устойчивости у тех элементов, которые, искривляясь, передают в узлы воздействия (силы и моменты), вызывающие искривление других стержней. Например, в раме, изображенной на рис. 1.3, а, невозможна местная потеря устойчивости стойки CL, так как при ее продольном изгибе (см. рис. 1.3, д) в узел С передается момент М_CL, а в узел L – горизонтальное усилие Н, которые не могут быть восприняты другими стержнями системы без их изгиба. При этом обязательно возникают смещения узлов (Z 0), а это – признак общей потери устойчивости. Заметим, чтодля стойки АВ, имеющей, подобно стойке CL, шар­нир на одном конце и защемление на другом, локальная потеря устой­чивости может иметь место, поскольку возникающий при искривлении стержня АВ момент М_А воспринимается опорным защемлением, а в узел В со стойки АВ передается только горизонтальная сила, заставляющая элемент ВЕ работать на сжатие. Изгиба же других стержней, а значит и смещения узлов при этом не возникает (Z = 0). Если бышарнир стойки АВ был расположен не вверху, а внизу, то местной потери устойчивости быть не могло бы, так как изгиб стойки в этом случае невозможен без поворота узла В. При продольном изгибе эле­ментов, имеющих шарниры на обоих концах (например, стойка СD (см. рис. 1.3, г), в узлы системы на передается никаких возмущений, по­этому местная потеря устойчивости таких стержней всегда возможна.

И напротив, за редким исключением, не существует опасности локальной потери устойчивости стержней с двумя защемленными концами (рис. 1.3, в).

Выполняя при составлении расчетной схемы сооружения предварительный анализ структуры, можно выявить стержни, для которых не исключена опасность местной потери устойчивости. Однако даже при наличии таких элементов можно избавиться от скрытых форм. Для этого, очевидно, нужно перевести локальные формы в категорию яв­ных, поддающихся определению с помощью нетривиального решения. Цель будет достигнута, если в число основных неизвестных, кроме перемещений основных узлов системы, включить также перемещения, характеризующие искривление стержней при их локальной потере устойчивости (целесообразно в качестве характерного перемещения принимать угол поворота шарнирно закрепленного конца элемента). При этом увеличива­ется порядок системы канонических уравнений (1.6) и усложняется уравнение устойчивости (1.15), но зато с помощью последнего удает­ся получить полное решение задачи.

Введение дополнительных неизвестных приводит к появлению в основной системе избыточных связей (то есть связей, наложенных в дополнение к необходимым).

возникновения скрытых форм потери

стеме невозможна местная потеря ус-

стемы до­статочно ввести лишь необ-

Основная система, не устраняющая всех скрытых форм потери устойчивости, называется несовершенной.

Пример несовершенной основной cистемы для рамы, изображенной на рис. 1.3, а, приведен на рис. 1.3, б, а совершен­ная основная система для той же рамы показана на рис. 1.4.

Следует обратить внимание на то, что при продольном изгибе стойки CD с шарнирами на обоих концах перемещение Z ₆ – групповое.

Использование рассмотренных выше понятий позволяет дать корректное истолкование ряда вопросов тео­рии и избежать некоторых ошибок, в том числе и такой опасной по практическим последствиям, как неполное выявление форм потери ус­тойчивости. В частности, становится очевидным, что фермы не поддаются расчету на устойчивость методом перемещений, если применять
шарнирно-стержневую расчетную схему и при этом основную систему выбирать так же, как в расчете на прочность, то есть вводя лишь необходимые связи (по две линейных связи в каждом узле плоской фермы). Ведь для фермы с идеальными шарнирами характерна местная потеря устойчивости отдельных стержней. Но поскольку полученная указанным способом основная система является несовершенной, то все локальные формы остаются неисследованными, а общая потеря ус­тойчивости невозможна (случай бокового выпучивания фермы здесь не рассматривается). Следовательно, критическую нагрузку определить не удается. Для получения правильного результата нужно либо устранить несовершенство основной системы путем введения избыточных связей, либо выполнить дополнительный анализ скрытых форм потери устойчивости (подробно об этом будет сказано ниже), либо, наконец, расчетную схему фермы составлять с учетом реального (жесткого или упругоподатливого) соединения в узлах.

Обратимся теперь к вопросу решения уравнения устойчивости (1.15). В п. 1.2 было показано, что все компоненты r_ik определителя в левой части (1.15) могут быть представлены как функции одного аргумента n ₀ . В эти функции входят трансцендентные выражения (через коэффициенты n_j = y_j ) усилий в концевых сечениях элементов ОСМП (см. табл. 1 Приложения).

Det (r), то получается функ-

ция Ф(n ₀ ), которая также явля-

ется трансцендентной и может

быть достаточно сложной.

Рис. 1.5

Примерный вид графика этой функции показан на рис. 1.5. Характерным является тo, что Ф (0) > 0. Точкам пересечения графика с осью 0 n 0 отвечают значения параметра n 0 являющиеся корнями уравнения устойчи­вости Det (r) = = Ф(n 0 ) = 0. Их называют критическими значениями параметра n 0 и обозначают ncr, 1, ncr, 2 и

т.д. – в порядке увеличения. Из формулы (1.14) видно, что параметр нагрузки пропорционален квадрату параметра n ₀ . Тогда ряду значений n_{cr, 1}, n_{cr, 2}, … соответствует совокупность F_{cr , 1} , F_{cr , 2} , …, называемая спектром критических значений параметра нагрузки. Поскольку трансцендентное уравнение устойчивости содержит периодические тригонометрические функции и вследствие этого имеет бесчисленное множество корней, спектр критических нагрузок бесконечен. Но практическое значение имеет толькo низшая критическая нагрузка F_{cr , 1}, отвечающая наименьшему корню уравнения устойчивости n_{cr, 1} . Обозначим их и , тогда

= . (1.16)

Точное решение уравнения устойчивости удается получить лишь в редких случаях для систем с достаточно простой структурой, поэ­тому обычно минимальный корень уравнения (1.15) определяют с помощью численных методов, легко поддающихся алгоритмизации и эффек­тивно реализуемых на ЭВМ. Построение процедуры поиска критическо­го значения параметра n ₀ облегчается тем, что область существования заведомо известна:

0 <

(объяснение этому будет дано в конце параграфа).

В случае использования совершенной основной системы решение уравнения ус­тойчивости дает истинное значение n_cr, которому отвечает искомое критическое значение параметра нагрузки F_cr. При этом в результате расчета всегда верно определяется форма потери устойчивости, какой быона ни была – общей или местной. Необходимо отметить, что если несовершенства основной системы устранены путем введения угловых связей на шарнирных концах элементов, потенциально опасных по местной устойчивости, то единичное смещение некоторой из этих избыточных связей (или группы связей при групповом неизвестном Z_i) не вызывает ре­акций во всех остальных связях. Это означает, что , i – номер избыточной связи), поэтому в матрице r i -е строка и столбец содержат лишь один элемент r_ii, расположенный на главной диагонали. Удобно сначала пронумеровать необходимые введенные связи в основной системе метода перемещений (с 1по n ₀ ), а затем избыточные (с n ₀+1 до n = n ₀ + n_d, где n_d – число избыточных связей), тогда матрица r приобретает блочно-диагональную структуру:

, (1.17)

Определитель матрицы r (1.17) записывается в виде

Det (r) = Det (r ₀ ) . (1.18)

Очевидно, что результат определения из уравнения (1.17) будет таким же, как при решении независимых уравнений Det (r ₀ ) = 0 и r_ii = 0 () с последующим выбором меньшего из найденных корней.

Если скрытые формы в выбранной основной системе отсутствуют, то выражение (1.18) называется спектральной функцией S(n ₀ ), и уравнение устойчивости принимает вид S(n ₀ ) = 0. Его минимальный корень = n_cr дает по (1.16) искомую величину F_cr.

В случае несовершенной основной системы значение , соответствующее наименьшему корню уравнения Det (r) = 0, не обязательно является действительной критической нагрузкой, так как потеря устойчивости системы может произойти по какой-либо из скрытых форм при нагрузке, меньшей, чем (в этом случае выбранная основная система называется ложной). По этой причине кроме решения уравнения (1.15) требуется дополнительное исследова­ние, заключающееся в расчете на устойчивость тex стержней, для ко­торых не исключена возможность существования скрытых форм. Поско­льку, как отмечалось выше, скрытыми могут быть только локальные формы потери устойчивости, то при указанном дополнительном иссле­довании стержни рассматриваются как отдельные, независимые друг от друга элементы с соответствующим закреплением концов. Критичес­кое значение продольной силы для некоторого j -го стержня вычис­ляется по обобщенной формуле Эйлера, которая при этом может рассматриваться как уравнение устойчивости для соответствующей локальной формы:

, (1.19)

где – приведенная длина j -го стержня в ОСМП;

= – коэффициент приведения длины, зависящий от

способа закрепления концов j -го элемента (для элемента

1-го типа = 0, 5, для 2-го типа – = 0, 7, для 3-го типа –

= 2, для 4-го типа – = 1).

По найденному определяется – значение параметра нагрузки при местной потере устойчивости j -го стерж­ня. Истинное значение критической нагрузки F_cr для рассчитывае­мой системы отыскивается как

F_cr = min (, , …, , …, ) (1.20) (здесь m_l – число стержней, потенциально опасных по локальной потере устойчивости; иногда m_l может совпадать с общим числом элементов – например, для фермы при основной системе без избыточных связей).

Таким образом, при использовании несовершенной основной системы:

F_cr = min (, min ); n_cr = min (, min ). (1.21)

После отыскания n_cr могут быть вычислены коэффициенты n_{j, cr} = y_j n_cr для всех сжатых элементов системы, а по ним – коэффициенты приведения стержней m_j = p /n_{j, cr}, учитывающие их совместную работу в составе системы, и далее – приведенные стержней .

Следует отметить, что найденные бифуркационным расчетом на устойчивость в линейной постановке коэффициенты m_j и приведенные (по терминологии СНиП – эффективные, расчетные) являют-

ся даже более важными с практической точки зрения результатами, чем значение критического параметра нагрузки. Объясняется это тем, что если реальное сооружение по конструктивному решению таково, что потеря устойчивости его сопровождается пластическими деформациями либо имеет место потеря устойчивости второго рода, то вычисленная

критическая нагрузка F_cr может сильно отличаться от действительной,

причем, к сожалению, в сторону завышения. Но при этом погрешность в

определении m_j и намного меньше, и их можно использовать для поэлементной проверки устойчивости по нормативной методике с помо-

щью коэффициента продольного изгиба, значения которого в нормах проектирования строительных конструкций даны с учетом возможности потери устойчивости за пределом упругости.

В заключение вернемся к приведенной выше двухсторонней оценке области существования критического значения ведущего параметра 0 < как коэффициента продольной силы сжатого однопролетного стержня. Используем обобщенную модель

а)     б)     в)

Рис. 1.6

элемента, работающего в составе деформируемой стержневой системы (рис. 1.6, а). Влияние на выделенный стержень других элементов смоделировано концевыми упругими линейными и угловыми связями, жесткости которых зависят от свойств смежных (а в общем случае и всех остальных) элементов системы. Предельными случаями по условиям закрепления концов, дающими соответ- ственно максимальное и мини-

мальное значения критической продольной силы, являются:

1) самое жесткое – полное защемление обоих концов ( – рис. 1.6, б;

2) самое податливое – упругое закрепление одного из концов (рис. 1.6, в) с исчезающе малыми жесткостями угловой и линейной связей ( .

В случае 1 коэффициент приведения длины, как уже упоминалось выше, равен 0, 5, тогда соответствующий = . В случае 2 элемент утрачивает геометрическую неизменяемость и не способен воспринимать нагрузки, поэтому для него = 0, тогда из (1.19) следует, что и . Следовательно, при произвольной комбинации условий закрепления концов элемента . Если, как рекомендовано выше, выбирать в качестве ведущего n ₀ какой-либо из коэффициентов n_j элементов системы (даже не обязательно наибольший), то очевид-но, что для n ₀ интервал возможных значений будет также (0; 2 p ].

Теперь можно дать объяснение целесообразности принимать n ₀ = max n_j. Дело в том, что если наибольший и наименьший из коэффициентов n_j сильно отличаются, и в качестве n ₀ назначен наименьший коэффициент, то уже на первом же шаге итерационного процесса поиска корня уравнения устойчивости может быть пропущено искомое значение . Корень уравнения все же будет найден, но не наименьший, а относящийся к не имеющей практического значения форме потери устойчивости с более высокой (нереализуемой) критической нагрузкой. Например, еслипри max n_j / min n_j = 15 выбрать n ₀ = min n_j и назначить шаг итерационной процедуры D n = 0, 5, то уже при первом отличном от нуля n ₀ = 0, 5 для max n_j будет получено 7, 5 > 2 p – больше верхнего предела возможных значений коэффициента продольной силы, и искомый корень уравнения устойчивости не будет определен. В случае n ₀ = max n_j риск подобной ошибки минимален.