Определение формы потери устойчивости

При известном параметре F_cr все единичные реакции r_ik могут быть вычислены, но матрица r при этом получается вырожденной, что следует из уравнения (1.15). Поэтому числовые значения основных неизвестных определить невозможно. Физический смысл неопределен­ности Z состоит в том, что, согласно предпосылкам линейной теории устойчивости, равновесие системы в закритическом изгибном состоянии считается безразличным, и критическому значению параметра нагрузки F_cr соответствует бесчисленное множество значений характерных перемещений (горизонтальный участок графика на рис. П.3 и П.6 Приложения, где в качестве D может выступать любое из перемещений Z ₁, …, Z_n).

Форма потери устойчивости выявляется с точностью до неопределенного параметра, то ecть могут быть найдены отношения основных неизвестных. Для этого канонические уравнения делятся на некоторое Z_k 0, в результате чего получается система уравнений

= 0, (1.22)

где b_z = = [ b_{z 1} b_{z 2} … b_zi … b_{z, k-1} 1 b_{z, k+1} … b_zn ]^T –

вектор отношений перемещений (по смысловой аналогии с

соответствующей задачей линейной алгебры будем назы-

вать b_z собственным вектором перемещений); b_zi = Z_i / Z_k.

Поскольку b_zk = 1, система (1.22) превращается в неоднородную:

(1.23)

где ; ; r_k = .

Вектор отличается от b_z отсутствием b_zk = 1.

Так как уравнений (1.23) на единицу больше, чем неизвестных , то любое из уравнений может быть отброшено, после чего из оставшейся системы (n – 1)-го порядка определяется собственный вектор , компоненты которого позволяют выразить все перемещения Z ₁, …, Z_n через одно из них:

Z_i = .

лишь один компонент вектора b_Z, соответствующий тому основному неизвестному, которое описывает выпучивание стержня, локально теряющего устойчивость).

При одновременной местной потере устойчивости нескольких элементов собственный вектор b_Z вычислить невозможно, так как перемещения локальных форм независимы.

Выявление формы потери устойчивости имеет практическое значение: ее анализ позволяет принимать обоснованные инженерные решения по внесению эффективных изменений в проект конструкции или существующее сооружение с целью повышения устойчивости.