Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение

Для решения этой первой задачи теории ошибок используем методику, изложенную в разделе математической статистики, а также выполним вычисления по формулам (1.1–1.5) настоящего раздела.

Задача 1.1. В таблице 1.1 даны невязки 32‑ х треугольников. Невязки можно считать истинными ошибками D, так как сумму углов в треугольнике можно рассматривать как измеренную величину, истинное значение которой равно . Выполнить исследование ряда невязок на нормальный закон распределения.

Найдём ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования:

; ; ; ;

; ; .

Решение:

1. Вычисление оценок параметров нормального распределения , , кривая плотности которого определяется выражением:

, *)

.

2. Вычисление средней ошибки и коэффициента :

;

; .

3. Определение вероятной ошибки и коэффициента .

Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:

+0, 00; +0, 01; +0, 06; +0, 07; –0, 19; +0, 22; –0, 24; –0, 25; +0, 38; –0, 38; –0, 41; +0, 43; –0, 62; –0, 69; +0, 71; –0, 73; –0, 76; –0, 95; –1, 03; +1, 04; +1, 16; –1, 23; –1, 27; –1, 28; +1, 29; +1, 31; –1, 38; +1, 52; –1, 88; +1, 92; +2, 28; –2, 50.

Находим:

;

; .

4. Построение статистического группированного ряда.

Распределим невязки (табл. 1.2) в двенадцати интервалах (длину интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е. ).

Таблица 1.2
№ п/п	длины интервалов в долях m	длины интервалов в секундах	число ошибок mi	частоты	высоты прямо-угольников
	–3, 0 m	–2, 5 m	–3, 30″	–2, 75″		0, 000	0, 000
	–2, 5 m	–2, 0 m	–2, 75	–2, 20		0, 031	0, 056
	–2, 0 m	–1, 5 m	–2, 20	–1, 65		0, 031	0, 056
	–1, 5 m	–1, 0 m	–1, 65	–1, 10		0, 125	0, 227
	–1, 0 m	–0, 5 m	–1, 10	–0, 55		0, 188	0, 342
	–0, 5 m	+0	–0, 55	–0		0, 156	0, 284
	+0	+0, 5 m	–0	+0, 55		0, 219	0, 398
	+0, 5 m	+1, 0 m	+0, 55	+1, 10		0, 062	0, 113
	+1, 0 m	+1, 5 m	+1, 10	+1, 65		0, 125	0, 227
	+1, 5 m	+2, 0 m	+1, 65	+2, 20		0, 031	0, 056
	+2, 0 m	+2, 5 m	+2, 20	+2, 75		0, 031	0, 056
	+2, 5 m	+3, 0 m	+2, 75	+3, 30		0, 000	0, 000
∑						1, 000	―
mi — число ошибок, попавших в i ‑ й интервал, подсчитывается непосредственно. Если значение ошибки совпадает с границей интервала, то эту ошибку следует поместить в тот интервал, в котором теоретически ожидается большее число ошибок (см. рис 1.1)

5. Построение гистограммы и выравнивающей её кривой распределения.

По данным таблицы 1.2 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис. 1.1) — график эмпирического распределения (на выбор масштаба изображения наложим лишь условие наглядности).

Рис. 1.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая

Вид гистограммы позволяет действительно предположить нормальный закон распределения ошибок D _i. Теоретическая кривая, наилучшим образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется уравнением

,

где ; ; ; ; .

Вычисление ординат кривой выполняем, используя таблицу Приложения A. Результаты вычислений поместим в таблице 1.3.

Таблица 1.3
№ п/п	левые границы интервалов D i		yi
			0, 564	0, 645	0, 364
	0, 5m	0, 5	0, 498	― " ―	0, 321
	1, 0m	1, 0	0, 342	― " ―	0, 220
	1, 5m	1, 5	0, 183	― " ―	0, 118
	2, 0m	2, 0	0, 076	― " ―	0, 049
	2, 5m	2, 5	0, 025	― " ―	0, 016
	3, 0m	3, 0	0, 006	― " ―	0, 004

По данным таблицы 1.3 (столбцы 2 и 6) на графике рис. 1.1 наносим ряд точек , которые соединяем плавной кривой. Левую ветвь кривой строим по тем же ординатам.

Как видно из графика, кривая j(D) удовлетворительно сглаживает гистограмму.

6. Применение критерия c² ‑ Пирсона.

Для оценки степени приближения статистического распределения (гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину

,

где

.

Результаты вычислений поместим в таблице 1.4.

находят по таблице Приложения B для левых границ интервалов t_i.

Таблица 1.4
№	Интервалы ti		pi	mi	npi
	–3, 0	–2, 5	–0, 5	0, 0062		0, 20	0, 20
	–2, 5	–2, 0	–0, 4938	0, 0166		0, 53	0, 42
	–2, 0	–1, 5	–0, 4772	0, 0440		1, 41	0, 12
	–1, 5	–1, 0	–0, 4332	0, 0918		2, 94	0, 38
	–1, 0	–0, 5	–0, 3414	0, 1500		4, 80	0, 30
	–0, 5	+0	–0, 1914	0, 1914		6, 12	0, 20
	+0	+0, 5	+0	0, 1914		6, 12	0, 13
	+0, 5	+1, 0	+0, 1914	0, 1500		4, 80	1, 63
	+1, 0	+1, 5	+0, 3414	0, 0918		2, 94	0, 38
	+1, 5	+2, 0	+0, 4332	0, 0440		1, 41	0, 12
	+2, 0	+2, 5	+0, 4772	0, 0166		0, 53	0, 42
	+2, 5	+3, 0	+0, 4938	0, 0062		0, 20	0, 20
	+3, 0	+∞	+0, 5	―	―	―	―
S				1, 0000		32, 00	4, 50

Число степеней свободы определяется формулой . Находим (k —число интервалов, , так как только один параметр оценивался по выборке, а принято равным нулю).

По таблице Приложения E по числу степеней свободы для находим вероятность , а для находим . Интерполируя, для получим .

7. Вычисление оценок скошенности и эксцесса и проверка соотношений [1, стр.81]:

; ,

которые являются критериями нормального закона.

Находим:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Как видно из вычислений, соотношения выполняются.

В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как:

1) выполняются свойства случайных ошибок:

а) среднее арифметическое практически равно нулю,

б) положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной величине (см. гистограмму), примерно одинаково часто встречаются в данном ряде,

в) малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие,

г) случайные ошибки Dс заданной вероятностью b не превосходят определенного предела, равного , ни одна из ошибок ряда не превышает предельной ошибки, равной

;

2) коэффициенты и совпадают с их теоретическими значениями (; );

3) вероятность велика, так как значительно больше критического уровня значимости, равного 0, 1 [1, стр.79];

4) величины скошенности и эксцесса незначительно отличаются от нуля.

5)