Метод интегрирования по частям

В основе метода интегрирования по частям лежит следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Если функции и дифференцируемы и интеграл существует, то и интеграл также существует и справедливо равенство

. (8)

Доказательство.

По правилу дифференцирования про­изведения можно записать

,

откуда

.

Проинтегрируем обе части последнего равенства

,

и учтем свойство 1 неопределенного интеграла

.

Относя произвольную постоян­ную ко второму слагаемому, получим

.

Для применения формулы интегрирования по частям к неко­торому интегралу подынтегральное выражение следует представить в виде произведения двух множителей: и ; за всегда выбирается такое выражение, содержащее , из которого посредством интегрирования можно найти ; за в большинстве случаев принимается функция, которая при диф­ференцировании упрощается (например: , , , ).

Рассмотрим работу этого метода на примерах.

Пример 4. Вычислим интеграл . Положим и . Тогда , и вычисляемый интеграл принимает вид

.

Пример 5. Вычислим интеграл . Полагая , и, следовательно, dx, , получаем

.

Интеграл в правой части вычислим методом непосредственного интегрирования. Прибавим и вычтем в числителе подынтегральной функции величину . Тогда можно записать

.

Подставляя полученный результат в выражение искомого интеграла, запишем

.

Перенося величину из правой части в левую, и поделив обе части полученного равенства на 2, имеем

.

Пример 6. Вычислим интеграл . Выбирая , , получаем , . Тогда искомый интеграл принимает вид

.

Для вычисления интеграла в правой части полученного выражения вновь воспользуемся методом интегрирования по частям. Обозначим

, ;

тогда

,

и интеграл равен

.

Подставляя полученный результат в выражение для искомого интеграла, имеем

Сделаем два замечания относительно метода интегрирования по частям.

Замечание 1. Если при использовании метода интегрирования по частям новый интеграл принял более сложный вид, чем исходный, дальнейшее преобразование следует прекратить и вернуться к исходному выражению, изменив выбор функции и дифференциала .

Замечание 2. Если метод интегрирования по частям осуществляется несколько раз, то, начиная со второго шага, в качестве функции и дифференциала выбирают функции того же типа, как и на первом шаге. В противном случае при вычислении интеграла будет получено тождество.