Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод подстановки ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
В основе метода интегрирования подстановкой лежит следующая теорема. ТЕОРЕМА. Пусть функции и определены на некоторых промежутках и имеет смысл сложная функция ; если функция имеет первообразную , а функция дифференцируема, то функция также имеет первообразную и . (9) Доказательство. Поскольку функция определена на том же промежутке, что и функция , то сложная функция также имеет смысл. По правилу дифференцирования сложной функции получаем . Интегрируя обе части последнего равенства, получаем исходное выражение (9). Выражение (9) также может быть записано в виде (10) или . (11) Пример 7. В качестве примера вычислим еще раз интеграл . Воспользуемся заменой переменных . Тогда . Подставляя данные значения в рассматриваемый интеграл, имеем Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. представим дифференциал в виде . Тогда . Учитывая также , получим выражение для искомого интеграла . Обязательным этапом является возврат к старым переменным. Из равенства следует и . Тогда .
|