III.Абсолютні похибки вимірювань. розподіл Гауса

Щоб врахувати вплив випадкових похибок при визначенні деякого параметра величини, що виміряється, вводять поняття про абсолютну і відносну похибки вимірювань.

Припустимо, що нам потрібно виконати пряме вимірювання якоїсь фізичної величини а, для якої істинне значення . Унаслідок n послідовних вимірювань ми отримали ряд значень. Середнє арифметичне цих значень

(1)

Знаючи істинне значення величини , що виміряється, можна визначити похибки кожного вимірювання:

,

(2)

…….……………

,

Підсумувавши ліві і праві частини рівності (2), отримаємо

(3)

Зробивши прості математичні перетворення, отримаємо

(4)

З рівності (4) випливає, що при тобто при кінцевому, але достатньо великому, значенні n, отримаємо

(5)

Таким чином, шукане за допомогою співвідношення (4), істинне значення величини, що виміряється, дорівнює середньоарифметичному при нескінченно великому числі вимірювань. А величину можна визначити як відхилення даної величини від середньоарифметичного з результатів вимірювання і характеризує точність вимірювань.

Похибкою окремого вимірювання називається різниця між значенням, отриманим в даному вимірюванні і середнім арифметичним:

. (6)

Середнє арифметичне з абсолютних значень похибкок окремих вимірювань називається абсолютною похибкою вимірювання:

(7)

Абсолютна похибка має ту ж розмірність, що і величина, що виміряється. При великому числі вимірювань випадкові похибки рівноймовірні, як у бік перевищення істинного значення величини, так і у бік зменшення.

Проте, середньоарифметична похибка не може повністю визначати точність вимірювань, оскільки в цій сумі є члени різних знаків. Для більш адекватної оцінки точності вимірювань вводять величину, названу середньоквадратичною похибкою:

(9)

Рівність (9) відноситься до визначеної кількості вимірів. При великої кількості вимірів n водять іншу величину, названу середньоквадратичною похибкою ряду вимірювань:

(10)

Значення величини не є постійними. Це випадкові величини, які залежать від кількості вимірювань і набору всіх можливих значень, які приймає величина а, тому вони повинні підкорятися теорії ймовірності.

Cередньоквадратична похибка ряду вимірювань вказує на відхилення середнього арифметичного значення від істинного значення шуканої величини.

При достатньо великій кількості вимірювань випадкові похибки підкоряються закону нормального розподілу або розподілу Гауса

(11)

σ ² – дисперсія даного розподілу

Дисперсія – це межа, до якої прагне середньоквадратична похибка середнього арифметичного при нескінченно великій кількості вимірів:

(12)

і дозволяє приблизно оцінити точність методики вимірювань.

При кінцевому числі вимірювань розподіл дискретний. Ламана лінія на рис.2 відповідає цьому закону. В цьому випадку говорять про ймовірність появи похибки даної величини, що лежить в межах інтервалу.

Закон нормального розподілу показує, що найбільш вірогідні похибки, близькі до нуля, а великі по величині похибка зустрічаються достатньо рідко. Похибки, рівні по величині, але протилежні за знаком, рівноймовірні.

Чим точніше прилад, яким проводяться вимірювання, тим вище максимум кривої і тим вужча дана крива, причому повна площа під кривою дорівнює одиниці, згідно умовам нормування.

IV.Відносні похибки вимірювань

Для порівняння різних методик вимірювань вводять поняття відносної похибки. Відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення величини, щовиміряється ε = Δ а / а^٭ називають відносною похибкою; це безрозмірна величина. Відносну похибку часто виражають у відсотках, тобто множать на 100%.

Основна проблема будь-яких вимірювань полягає в тому, що ми не знаємо і принципово не можемо знати істинного значення величини, що виміряється . Тому задача будь-яких вимірювань полягає в тому, щоб знайти наближене значення величини (а _i), що виміряється, і вказати, наскількизнайдена величина близька до істинної. Зрозуміло, що чим менше відносна похибка, тим вище точність вимірювань.