Лабораторна робота № 1. Укладачі: Россочинський В. М. , старший викладач кафедри вищої математики та інформатики Митної Академії;

ЛАБОРАТОРНИЙ ПРАКТИКУМ

З ДИСЦИПЛІНИ

«МИТНА СТАТИСТИКА»

ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТУ ЕКОНОМІКИ ТА МЕНЕДЖМЕНТУ

Дніпропетровськ

ЛАБОРАТОРНИЙ ПРАКТИКУМ

З ДИСЦИПЛІНИ

«МИТНА СТАТИСТИКА»

ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТУ ЕКОНОМІКИ ТА МЕНЕДЖМЕНТУ

Укладачі: Россочинський В.М., старший викладач кафедри вищої математики та інформатики Митної Академії;

Булгакова О.Ф., старший викладач кафедри вищої математики та інформатики Митної Академії.

Зміст

ВСТУП.. 4

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ.. 5

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1
Тема: Коливання рядів динаміки. 7

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

Тема: Коливання рядів динаміки. 19

Додаток 1. 31

Додаток 2. 31

ВСТУП

Метою виконання лабораторних робіт (далі – л. р.) є закріплення теоретичних знань і набуття практичних навичок проведення статистичних досліджень, які можуть виникати в реальній діяльності митних установ.

Лабораторний практикум містить основну теоретичну інформацію, постановку задачі, вихідні дані та приклад розв’язування типових задач до кожної л. р., а також вимоги до оформлення звітів.

Тематика л. р.: виявлення наявності та періоду коливань часових рядів; визначення типу коливань та прогнозування.

Виконувати кожну л. р. треба за таким загальним планом:

1. Ознайомитися з основною теоретичною інформацією.

2. Самостійно сформувати свій варіант вихідних даних, номер якого збігається з порядковим номером виконавця в журналі його академічної групи за поточний семестр.

3. Сформулювати задачу і виконати л. р. відповідно до наведеного прикладу.

4. Оформити звіт.

5. Для захисту л. р. підготувати відповіді на запитання для самоконтролю.

До кожної л. р. окремо оформлюється звіт про її виконання за наведеними вимогами, у разі порушення яких звіт потрібно переробити.

Звіт повинен містити:

1. Номер, тему і мету л. р., а також номер варіанта вихідних даних.

2. Основні теоретичні відомості, необхідні для виконання л. р.

3. Відповідно до наведеного прикладу: а) постановку задачі з вихідними даними; б) хід виконання л. р., тобто розв’язування поставленої задачі; в) висновки.

Для виконання та оформлення л. р. можна використовувати будь-яку обчислювальну техніку, бажано – комп’ютери з пакетами стандартних програм.

При захисті кожної л. р. виконавець повинен: показати знання основних термінів, визначень, понять, формул та уміння оперувати ними; уміти пояснити й обґрунтувати всі свої дії щодо виконання роботи та зроблених висновків; знати відповіді на запитання для самоконтролю.

Основна теоретична інформація, наведена в кожній л. р., не містить усіх необхідних відомостей з теми, що вивчається, тому виконання і захист л. р. передбачає попереднє детальне вивчення даної теми за підручниками, посібниками, конспектами лекцій, а також знання відповідної тематики з навчальної дисципліни “Статистика”.

Результати всіх обчислень повинні мати не менше чотирьох десяткових знаків і не менше чотирьох значущих цифр.

ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

Звіт до кожної л. р. оформлюється на одному боці аркушів білого паперу формату А4 (210х297 мм) тільки у рукописному вигляді. Допускається наявність у звіті аркушів з друкованими результатами обчислень, таблицями, графіками тощо.

Усі таблиці, графіки, схеми, діаграми та інші графічні ілюстрації повинні бути пронумеровані та підписані. Таблиці оформлюються за відповідними вимогами до оформлення статистичних таблиць.

Кожна сторінка звіту має такі параметри: верхнє, нижнє та ліве поля – 20 мм, праве – 10 мм.

Текст звіту треба писати чорним, синім або фіолетовим кольором, одним почерком, охайно і розбірливо, без будь-яких скорочень слів, крім загальноприйнятих скорочень та абревіатур. Для оформлення таблиць, графіків, діаграм та інших ілюстрацій дозволяється використання будь-яких інших кольорів, крім червоного та його відтінків.

Будь-які помилки можна виправляти довільним способом, але чітко і охайно.

Заголовки структурних елементів звіту розташовуються посередині рядка без переносів слів та крапки в кінці, але підкреслюються. Між заголовком, попереднім і наступним текстом повинен бути один порожній рядок. Після заголовку на цій сторінці має бути не менше одного рядка подальшого тексту.

Абзацний відступ має бути однаковим у всьому тексті звіту.

Формули, рівняння та інші математичні вирази розташовуються посередині окремого рядка. Безпосередньо під ними необхідно наводити пояснення до всіх позначень, що входять до цього виразу.

Переноси математичних виразів на наступний рядок небажані, але за необхідності це можна робити тільки на знаках арифметичних операцій або знаку рівності, повторюючи цей знак на початку наступного рядка. При цьому для позначення операції множення застосовується знак “× ”.

Обчислення за формулами треба оформляти так:

Звіт оформлюється за таким планом (починаючи з початку другої сторінки):

Тема: (тема роботи).

Мета роботи: (мета роботи).

Основна теоретична інформація

(Наводиться інформація, безпосередньо необхідна для виконання даної роботи).

Постановка задачі

(Зазначаються: постановка задачі (з типового прикладу до кожної лабораторної роботи); вихідні дані для відповідного варіанта, що визначені в кожній лабораторній роботі).

Розв’язування задачі

(Проводиться відповідно до наведеного в кожній лабораторній роботі типового прикладу).

Висновки

(Наводяться детальні висновки, аналіз одержаних результатів, необхідні на погляд виконавця інші відомості).

У кожному звіті має бути чистий останній аркуш для рецензії та зауважень.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

Тема. Коливання рядів динаміки

Мета роботи: навчитись виявляти наявність коливань рівнів динамічного ряду та визначати період коливань.

Вихідні дані: формуються виконавцем самостійно відповідно до п.1.4 основної теоретичної інформації.

Основна теоретична інформація

1.1. Основні поняття та аналітичне вирівнювання

Будемо відрізняти два типи коливань рядів динаміки: періодичні і квазіперіодичні (від латинського quasi – майже, начебто, не зовсім).

Під періодичними (квазіперіодичними) коливаннями часового ряду будемо розуміти такі коливання його рівнів, коли значення (знаки “+” чи “-”) відхилень рівнів ряду від загального тренду хоча б наближено повторюються через певні однакові (або такі, що вважаються однаковими) проміжки часу T. При цьому величина T називається періодом коливань.

Якщо період коливань дорівнює одному року, то такі коливання прийнято називати сезонними.

При дослідженні коливань часового ряду проміжки часу між моментами для моментного ряду і часові інтервали для інтервального ряду повинні бути однаковими або такими, що вважаються однаковими. Нагадаємо, що в деяких випадках нерівномірний інтервальний ряд можна рівномірезувати.

Якщо для даного часового ряду виявлено наявність коливань (див. п.1.3), то досліджувати такий ряд можна за допомогою його аналітичного вирівнювання трендовою кривою виду

, (1.1)

де

, (1.2)

, – період коливань, який повинен бути відомим.

Функція φ (t) являє собою систематичну складову тренду (або загальний тренд), яка виражає загальну тенденцію розвитку явища чи процесу. Найчастіше φ (t) обирається лінійною або квадратичною:
φ (t)=a + b·t або φ (t)=p + q·t + r·t².

Вираз ψ (t) є коливальною складовою тренду і являє собою перші k гармонік тригонометричного ряду Фур’є та описує коливання рівнів ряду, які накладаються на загальний тренд φ (t).

Зауважимо, що в деяких випадках значення T і, відповідно, наявність коливань однозначно витікає з економічної чи фізичної суті явища, що вивчається. В інших випадках виявляти наявність коливань і визначати величину їх періоду необхідно статистичними методами (див. п 1.3).

Обчислення параметрів a_m та b_m виразу ψ (t) за методом найменших квадратів зводиться до побудови і розв’язування системи 2 k рівнянь з 2 k невідомими і коефіцієнтами, що мають достатньо складну і громіздку структуру. Це вимагає проведення значної кількості обчислень, що не завжди доцільно. Тому на практиці часто зручніше користуватись спрощеним способом вивчення коливань, який не вимагає побудови тренду виду (1.1).

1.2. Вивчення коливань часових рядів за допомогою приростів коливань

Припустимо, що заданий часовий ряд має коливання своїх рівнів з певним періодом T.

Приростом коливань для k- ого рівня i- ого періоду часового ряду називається різниця між фактичним значенням і відповідним значенням систематичної складової тренду :

, (1.3)

де – k- й рівень ряду в i- му періоді, – значення функції для такого значення , яке відповідає даному рівню ряду ; ; – кількість рівнів ряду в кожному періоді. При цьому загальний тренд повинен бути попередньо знайденим за даними максимально можливої кількості періодів.

Для більшої точності і хоча б часткового виключення впливу флуктуацій значень ознаки Y прирости коливань бажано обчислювати за даними всіх періодів, для яких знаходився загальний тренд , як середню арифметичну відповідних приростів коливань для кожного з цих періодів:

, (1.4)

де – приріст коливань для k- ого рівня ряду в i- муперіоді, – кількість періодів спостереження, – загальний приріст коливань для k- ого рівня ряду в кожному періоді.

Якщо функція лінійна або квадратична (див. п. 1.1), то перевірити правильність обчислення приростів коливань та можна за умовами:

, (1.5)

, (1.6)

де – кількість періодів спостереження, – кількість рівнів ряду в кожному з періодів.

Наглядно спостерігати динаміку коливань рівнів ряду на обраних періодах можна за допомогою лінії приростів коливань, яка являє собою сукупність точок з координатами , побудованих у прямокутній системі координат toz і послідовно сполучених відрізками прямих. При цьому перша точка лінії може відповідати будь-якій парі з обраних періодів, але загальний проміжок часу, на якому будується лінія приростів коливань, повинен дорівнювати періоду коливань T, а кількість точок, що утворюють лінію приростів коливань – числу M рівнів ряду в кожному періоді.

Для сезонних коливань прирости коливань прийняти називати приростами сезонності, а їх графічне зображення – лінією приростів сезонності. Останню іноді називають сезонною хвилею.

1.3. Визначення виду загального тренду, наявності коливань та їх періоду

В практиці статистичних досліджень можлива ситуація, коли сама наявність коливань рівнів часового ряду не є очевидною або достатньо обґрунтованою. Виявити наявність або відсутність коливань можна таким чином.

Спочатку треба переконатись в тому, що на суб’єктивний погляд дослідника значення ознаки Y взагалі суттєво змінюються протягом часового проміжку, на якому розглядається ряд динаміки. Це можна з’ясувати шляхом візуального аналізу кореляційного поля або оцінки величини розмаху варіації для тих рівнів ряду, які належать вищезазначеному часовому проміжку.

Якщо на погляд дослідника значення R невелике, то всі рівні ряду визнаються наближено рівними між собою, а часовий ряд не має будь-яких коливань крім можливих незначних флуктуацій його рівнів. Очевидно, що в цьому випадку загальний тренд слід вважати сталим:

, де N+1 – кількість рівнів ряду.

Якщо буде визнано, що суттєво відмінні між собою, то виявити їх відхилення від попередньо знайденого загального тренду можна за допомогою значень модулів приростів коливань , обчислених для всіх , що належать проміжку спостереження .

При цьому параметри лінійного φ (t)=a + b·t абоквадратичного φ (t)=p + q·t + r·t² трендів знаходяться із систем лінійних алгебраїчних рівнянь відповідно

(1.7)

або

; (1.8)

де N – номер останнього рівня ряду, якщо нумерація рівнів починається з нуля, (N+1) –загальна кількість рівнів ряду.

Існують формули розв’язку системи (1.7) в загальному вигляді:

, (1.9)

, (1.10)

за якими можна обчислювати параметри лінійного тренду.

Якщо значення будуть визнані дослідником невеликими, то можна вважати, що часовий ряд не має суттєвих відхилень значень ознаки від загального тренду . Очевидно, що в цьому випадку коливання рівнів ряду слід вважати відсутніми.

Якщо значення на думку дослідника будуть достатньо великими, то можна вважати, що рівні ряду мають значні відхилення від загального тренду, які можуть виявитись періодичними або квазіперіодичними коливаннями.

В останньому випадку формально підтвердити наявність або відсутність коливань з певною заданою надійністю (або надійною імовірністю) можна за методом знаків.

Для застосування даного методу необхідно попередньо обрати значення T періоду коливань, наявність яких припускається і перевіряється. На жаль, не існує формального способу його обчислення і тому на практиці вибір величини T зазвичай здійснюється такими основними можливими шляхами:

· візуальним аналізом графіка загального тренду на кореляційному полі;

· ретельним аналізом природи і суті явища чи процесу, динаміка якого вивчається;

· урахуванням результатів можливих аналогічних попередніх досліджень.

Зауважимо, що метод знаків передбачає можливість зміни обраного значення T, якщо в цьому виникне потреба.

Припустимо, що для ряду динаміки з рівнями обрано певне значення періоду T з M рівнями ряду в кожному періоді. Якщо загальний тренд ряду має один і той же аналітичний вираз φ (t) на часовому проміжку , то для застосування методу знаків слід обрати максимально можливу кількість ( – ціла частина числа x) останніх періодів. При цьому доцільно і зручно використати введену у п.1.2 подвійну індексацію для позначення тих рівнів ряду, які увійшли до обраних m періодів: ; де i – номер періоду ), k –номер рівня ряду в кожному періоді (. Нижченаведена таблиця 1.1 ілюструє відповідність між початковими і новими позначеннями для, наприклад, N= 13, M =4 і .

Таблиця 1.1

Відповідність між початковими
і новими позначеннями рівнів ряду

Початкові позначення

Нові позначення

-

-

Номер періоду (i)

Суть методу знаків полягає у порівнянні знаків значень та для кожної можливої комбінації неупорядкованих пар (i; j), де , – приріст коливань для k- ого рівня ряду в l- ому періоді. При цьому ознакою наявності коливань є виконання умови

(1.11)

для кожної пари (i; j) і для кожного значення k.

Проте, внаслідок впливу на значення рівнів ряду випадкових факторів для деяких пар (i; j) і для деяких k умова (1.11) може не виконуватись навіть при фактичній наявності коливань. Очевидно, що число S (i; j) таких пар для всіх з i– го та j– го періодів, у яких знаки та не збігаються, повинно бути невеликим порівняно з M. При цьому, природно, виникає питання: наскільки великим повинно бути максимальне значення S величин S (i; j), щоб можна було вважати, що незбігання знаків та у такої кількості S пар викликане не випадковими факторами, а фактичною відсутністю коливань із заданим періодом T?

Формальну відповідь на поставлене питання можна одержати за допомогою критерія знаків (або s – критерія), відповідно до якого спостережене (тобто, обчислене за наявними даними) максимальне значення S величин S (i; j): необхідно порівняти з його критичним значенням , яке залежить від числа рівнів ряду в кожному періоді і рівня значущості : , де – імовірність ризику визнати коливання існуючими при їх фактичній відсутності, тобто, імовірність зробити помилку. При цьому значення знаходиться за таблицею критичних значень s – критерію (див. додаток 1).

Після знаходження значень S (i; j) для кожної можливої пари (i; j), та перевірка наявності коливань виконується за правилом:

· якщо

, (1.12)

то коливання з даним періодом T вважаються існуючими з надійною імовірністю (або надійністю) ;

· якщо

,

то коливання з даним періодом T вважаються неіснуючими з тією ж надійністю.

Необхідно підкреслити, що невиконання умови (1.12) ще не означає, що коливання насправді не існують: вони лише вважаються неіснуючими з надійністю . На практиці це означає, що при проведенні великої кількості таких досліджень для часових рядів, що фактично не мають коливань, у досліджень коливання повинні бути визнані неіснуючими, а у досліджень коливання можуть бути визнані існуючими. Очевидно, що в останніх випадках буде зроблена помилка.

1.4. Формування вихідних даних

Вихідні дані формуються виконавцем самостійно за допомогою комп’ютерних програм. При цьому спочатку необхідно обчислити номер N останнього рівня ряду динаміки за формулою

N =[ (310 – l) / 7 ],

а також числа G та H:

G = 0.05 l + 5,

H = 0.1 l – 1.35,

де l – порядковий номер виконавця за списком у журналі академічної групи за поточний семестр, [ х ] – ціла частина числа х.

Після обчислення чисел N, G і H виконати такі операції:

1. Увімкнути комп’ютер.

2. За допомогою маніпулятора мышь запустити табличний процесор Microsoft Excel.

3. Встановити курсор у комірку C 1.

4. Увійти в меню Сервис та вибрати рядок Анализ данных (для версії Microsoft Office 2003) або перейти на вкладку Данные та у групі Анализ натиснути кнопку Анализ данных (для версії Microsoft Office 2010).

Увага! Якщо пакет аналізу Microsoft Excel 2010 не встановлений на вашому комп’ютері, завантажити його можна так:

1. Відкрийте вкладку Файл та оберіть пункт Параметры.

2. Оберіть команду Надстройки, після чого у полі Управление оберіть рядок Надстройки Excel.

3. Натисніть кнопку Перейти.

4. У вікні Надстройки встановіть прапорець Пакет анализа та натисніть кнопку ОК.

5. Після завантаження пакета аналізу на вкладці Данные в групі Анализ стає доступною команда Анализ данных.

5. Після появи вікна Анализ данных вибрати рядок Генерация случайных чисел та натиснути кнопку ОК. На екрані монітора має з’явитись вікно з назвою Генерация случайных чисел.

6. У полі Распределение з випадаючого списку вибрати рядок Равномерное.

7. У полях Число переменных та Число случайных чисел записати числа відповідно 1 та N+ 1.

8. В області Параметры у поля Между та и записатичисла відповідно -1 та 1.

9. В області Параметры вывода у полі Выходной интервал задати адресу комірки $ C $1та натиснути кнопку ОК.

10. На екрані монітора у стовпці C мають з’явитися N+ 1 чисел.

11. Записати у комірку A 1 число 0.

12. Встановити курсор у комірку A 1.

13. Увійти в меню Правка, вибрати рядок Заполнить → Прогрессия (для версії Microsoft Office 2003) або перейти на вкладку Главная, у групі Редактирование натиснути кнопку Заполнить та обрати команду Прогрессия (для версії Microsoft Office 2010). На екрані монітора має з’явитись вікно Прогрессия.

14. У полях Шаг та Предельное значение записати числа відповідно 1 та N.

15. У полі Расположение обрати перемикач по столбцам та натиснути кнопку ОК. На екрані монітора у стовпці A мають з’явитися цілі числа від 0 до N.

16. У комірки G 1, H 1 та L 1 записати попередньо знайдені числа відповідно G, H та l.

17. Встановити курсор у комірку D 1та занести формулу

=$G$1*(SIN(0, 5236*(A1+$L$1))+3).

18. Скопіювати цю формулу у стовпці D для рядків від 1 до N+ 1.

19. Встановити курсор у комірку E 1та занести формулу

=$H$1*A1.

20. Скопіювати цю формулу у стовпці E для рядків від 1 до N+ 1.

21. Встановити курсор у комірку B 1та занести формулу

=ОКРУГЛ (СУММ(C1: E1); 4).

Таким чином одержані числа будуть округлені до 4-х десяткових знаків.

22. Скопіювати цю формулу у стовпці B для рядків від 1 до N+ 1.

23. На екрані монітора у стовпцях A та B будуть записані відповідно час і рівні вихідного часового ряду (.

1.5. Приклад постановки і розв’язування типової задачі

Постановка задачі

Динаміка абсолютного приросту фізичного обсягу експорту певного товару по деякій митниці наведена в таблиці 1.2.

Таблиця 1.2

Динаміка абсолютного приросту фізичного обсягу експорту
(дані умовні)

Час
Обсяг експорту, тис. т.,	14, 7211	15, 7497	16, 9836	15, 7084	12, 9701	10, 9708	6, 9571	3, 0934	-0, 4266
Час
Обсяг експорту, тис. т.,	-1, 5967	-3, 3762	-1, 7688	-1, 0231	0, 0159	0, 9748	-1, 1037	-1, 4699	-5, 7071
Час
Обсяг експорту, тис. т.,	-9, 9391	-13, 4611	-15, 7381	-17, 4264	-19, 3300	-18, 1732	-18, 0289	-16, 0605	-15, 0614
Час
Обсяг експорту, тис. т.,	-16, 3546	-17, 9664	-21, 283	-25, 3754	-29, 3811	-31, 9349	-33, 8429	-35, 233	-35, 2884
Час
Обсяг експорту, тис. т.,	-34, 1639	-32, 1511	-31, 2873	-33, 0277	-34, 1604	-38, 0622	-41, 7533	-46, 5092	-49, 3452

Для даного динамічного ряду необхідно:

1. Побудувати кореляційне поле в прямокутній системі координат .

2. За видом кореляційного поля обрати лінійну або квадратичну модель загального тренду . Вибір виду тренду обґрунтувати письмово у звіті до л. р. При необхідності для полегшення вибору виду тренду можна побудувати кореляційне поле з більшим масштабом по осі .

3. За методом найменших квадратів обчислити параметри обраної функції як розв’язки систем (1.7) або (1.8). Якщо за результатом візуального аналізу кореляційного поля буде обрано лінійну функцію, то її параметри зручно обчислювати за формулами (1.9) та (1.10).

4. На кореляційному полі побудувати графік загального тренду і шляхом візуального аналізу переконатись у наявності значних відхилень фактичних рівнів ( ряду від загального тренду та визначити період T можливих коливань і число M рівнів ряду, що належать одному періоду.

5. Обчислити максимально можливе число останніх періодів і за їх даними формально перевірити наявність коливань із заданим періодом T (числом M) за методом знаків з надійністю . Очевидно, що при цьому
.

Якщо за результатами застосування методу знаків буде виявлена відсутність коливань, то повторити дослідження з іншим допустимим періодом T (числом M). Зробити висновки щодо наявності або відсутності коливань з даним періодом і числом M.

Розв’язування задачі

1. Будуємо кореляційне поле заданого динамічного ряду (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Кореляційне поле

2. За результатом візуального аналізу кореляційного поля обираємо лінійну модель загального тренду φ (t)=a + b·t.

3. За формулами (1.9) та (1.10) обчислюємо параметри тренду. Проміжні обчислення зручно організувати в таблиці (графи 1-4 таблиці 1.3).

=

;

Таблиця 1.3

Розрахункова таблиця

×
	14, 7211	0, 0000	0, 0000	–	–
	15, 7497	15, 7497	1, 0000	–	–
	16, 9836	33, 9672	4, 0000	–	–
	15, 7084	47, 1252	9, 0000	–	–
	12, 9701	51, 8804	16, 0000	–	–
	10, 9708	54, 8540	25, 0000	–	–
	6, 9571	41, 7426	36, 0000	–	–
	3, 0934	21, 6538	49, 0000	–	–
	-0, 4266	-3, 4128	64, 0000	–	–
	-1, 5967	-14, 3703	81, 0000	3, 4108	-5, 0075
	-3, 3762	-33, 7620	100, 0000	2, 0396	-5, 4158
	-1, 7688	-19, 4568	121, 0000	0, 6684	-2, 4372
	-1, 0231	-12, 2772	144, 0000	-0, 7028	-0, 3203
	0, 0159	0, 2067	169, 0000	-2, 0740	2, 0899
	0, 9748	13, 6472	196, 0000	-3, 4452	4, 4200
	-1, 1037	-16, 5555	225, 0000	-4, 8164	3, 7127
	-1, 4699	-23, 5184	256, 0000	-6, 1876	4, 7177
	-5, 7071	-97, 0207	289, 0000	-7, 5588	1, 8517
	-9, 9391	-178, 9038	324, 0000	-8, 9300	-1, 0091
	-13, 4611	-255, 7609	361, 0000	-10, 3012	-3, 1599
	-15, 7381	-314, 7620	400, 0000	-11, 6724	-4, 0657
	-17, 4264	-365, 9544	441, 0000	-13, 0436	-4, 3828
	-19, 3300	-425, 2600	484, 0000	-14, 4148	-4, 9152
	-18, 1732	-417, 9836	529, 0000	-15, 7860	-2, 3872
	-18, 0289	-432, 6936	576, 0000	-17, 1572	-0, 8717
	-16, 0605	-401, 5125	625, 0000	-18, 5284	2, 4679
	-15, 0614	-391, 5964	676, 0000	-19, 8996	4, 8382
	-16, 3546	-441, 5742	729, 0000	-21, 2708	4, 9162
	-17, 9664	-503, 0592	784, 0000	-22, 6420	4, 6756
	-21, 2830	-617, 2070	841, 0000	-24, 0132	2, 7302
	-25, 3754	-761, 2620	900, 0000	-25, 3844	0, 0090
	-29, 3811	-910, 8141	961, 0000	-26, 7556	-2, 6255
	-31, 9349	-1021, 9168	1024, 0000	-28, 1268	-3, 8081
	-33, 8429	-1116, 8157	1089, 0000	-29, 4980	-4, 3449
	-35, 2330	-1197, 9220	1156, 0000	-30, 8692	-4, 3638
	-35, 2884	-1235, 0940	1225, 0000	-32, 2404	-3, 0480
	-34, 1639	-1229, 9004	1296, 0000	-33, 6116	-0, 5523
	-32, 1511	-1189, 5907	1369, 0000	-34, 9828	2, 8317
	-31, 2873	-1188, 9174	1444, 0000	-36, 3540	5, 0667
	-33, 0277	-1288, 0803	1521, 0000	-37, 7252	4, 6975
	-34, 1604	-1366, 4160	1600, 0000	-39, 0964	4, 9360
	-38, 0622	-1560, 5502	1681, 0000	-40, 4676	2, 4054
	-41, 7533	-1753, 6386	1764, 0000	-41, 8388	0, 0855
	-46, 5092	-1999, 8956	1849, 0000	-43, 2100	-3, 2992
	-49, 3452	-2171, 1888	1936, 0000	-44, 5812	-4, 7640
Σ	990, 0000	-648, 6659	-24677, 8171	29370, 0000	×	×

=

Маємо загальний тренд φ (t)= 15, 7516 – 1, 3712 ·t.

4. Із візуального аналізу графіка загального тренду (рис.1.2) на кореляційному полі можна зробити висновки:

a) рівні мають значні відхилення від загального тренду;

b) є підстави висунути припущення про наявність коливань з періодом T =12, тобто одному періоду належить M =12 рівнів ряду.

Рис. 1.2. Кореляційне поле та графік загального тренду

5. Для формальної перевірки наявності коливань з даним періодом обчислимо максимально можливу кількість m періодів:

,

після чого зробимо подвійну індексацію рівнів ряду, що належать останнім трьом періодам. При цьому

.

Відкидаємо перші рівнів ряду і обчислюємо прирости коливань для всіх рівнів ряду, що належать останнім трьом періодам (. Обчислення зручно організувати в таблиці (графи 5, 6 таблиці 1.3). Результати обчислень зручно оформити в таблиці 1.4 (графи 2 – 4) з подвійною індексацією позначень приростів коливань.

Таблиця 1.4

Прирости коливань і їх знаки

k	Прирости коливань за один період
			i = 1	i = 2	i = 3
	-5, 0075	-4, 3828	-4, 3449	-	-	-
	-5, 4158	-4, 9152	-4, 3638	-	-	-
	-2, 4372	-2, 3872	-3, 0480	-	-	-
	-0, 3203	-0, 8717	-0, 5523	-	-	-
	2, 0899	2, 4679	2, 8317	+	+	+
	4, 4200	4, 8382	5, 0667	+	+	+
	3, 7127	4, 9162	4, 6975	+	+	+
	4, 7177	4, 6756	4, 9360	+	+	+
	1, 8517	2, 7302	2, 4054	+	+	+
	-1, 0091	0, 0090	0, 0855	-	+	+
	-3, 1599	-2, 6255	-3, 2992	-	-	-
	-4, 0657	-3, 8081	-4, 7640	-	-	-

Знаки значень наведено в графах 5 – 7 таблиці 1.4, звідки знаходимо:

= 1.

За таблицею критичних значень – критерію для
(див. додаток 1) знаходимо
. Оскільки і виконується умова (1.12), то з надійністю 95% можна вважати, що часовий ряд має коливання з періодом T =12.

Запитання для самоконтролю

1. Для ряду динаміки дати означення:

а) періодичних коливань;

б) квазіперіодичних коливань;

в) періоду коливань;

г) сезонних коливань;

д) загального тренду;

е) приросту коливань;

ж) загального приросту коливань;

з) лінії приростів коливань.

2. Як можна перевірити правильність обчислення приростів коливань?

3. Якими способами можна виявити величину T періоду коливань?

4. Пояснити суть методу знаків.

5. Пояснити зміст критерію знаків.