Визначення типу коливань

Для визначення типу коливань необхідно спочатку обчислити для виправленого загального тренду φ (t):

а) нові значення приростів коливань за формулою (1.3) для
від до ;

б) загальні прирости за формулою (1.4);

в) число

(2.1)

для всіх та ;

г) регресійне середнє квадратичне відхилення

(2.2)

де e – кількість параметрів загального тренду φ (t), що знаходились за методом найменших квадратів. Після цього тип коливань визначається за правилом:

· якщо , (2.3)

то коливання вважатимемо періодичними;

· якщо умова (2.3) не виконується, то коливання вважатимемо квазіперіодичними.

2.4. Точкове та інтервальне прогнозування ряду динаміки

Точковий прогноз, тобто точкове оцінювання рівня ряду для майбутнього часу виконується шляхом обчислення значення виправленого загального тренду для з урахуванням наявних коливань:

, (2.4)

де –загальний приріст коливань, що відповідає часу .

Інтервальний прогноз, тобто інтервальне оцінювання виконується тільки для рівномірних рядів і являє собою надійний інтервал , який повинен із заданою надійністю (або надійною імовірністю) накрити майбутнє значення ознаки , що оцінюється.

Надійний інтервал визначається своїми межами, які обчислюються за формулами:

, (2.5)

, (2.6)

де – відповідно ліва і права межі, – коефіцієнт довіри (або довірче число), який знаходиться за таблицею критичних значень розподілу Стьюдента для двосторонньої критичної області в залежності від числа ступенів вільності і рівня значущості (додаток 2); коефіцієнт прогнозу

, (2.7)

де .

Таким чином, майбутнє значення рівня ряду для часу повинно з надійною імовірністю накриватись інтервалом

; . (2.8)

2.5. Приклад постановки і розв’язування типової задачі

Постановка задачі

1. За результатами виконання л. р. № 1 створити новий часовий ряд, що містить максимально можливу кількість m періодів і, відповідно рівнів від до вихідного ряду, заданого таблицею 1.2.

2. Якщо і новий ряд збігається з вихідним, то перейти до п.4.

3. Для нового часового ряду обчислити нові уточнені значення параметрів нового не викривленого загального тренду і побудувати його графік на кореляційному полі.

4. Визначити тип коливань.

5. Виконати:

a) точкові прогнози на час та ;

b) інтервальний прогноз на час з надійністю ;

c) інтервальний прогноз на час з надійністю .

Зобразити точкові та інтервальні прогнози на графіку.

6. Побудувати лінію приростів коливань.

7. Зробити висновки.

Розв’язування задачі

1. За прикінцевою частиною графіка попередньо знайденого тренду на кореляційному полі (рис. 2.2) наближено графічно знаходимо точки A, B, C і, відповідно, .

.

Оскільки , то Тоді .

Рис. 2.2. Прикінцева частина графіка попередньо знайденого загального тренду на кореляційному полі

2. Оскільки , то новий часовий ряд не збігається з вихідним і містить рівні від до .

3. За видозміненими формулами (1.9) та (1.10) обчислюємо нові не викривлені параметри a і b загального тренду:

=

;

=

.

Проміжні обчислення зручно організувати в таблиці 2.1.

Маємо виправлений загальний тренд φ (t)= 14, 4464 – 1, 3205 ·t (див. рис.2.3).

4. Для визначення типу коливань обчислимо для нового часового ряду від до і виправленого загального тренду φ (t) прирости коливань за формулою (1.3), загальні прирости коливань за формулою (1.4) та перевіримо правильність обчислень за умовами (1.5) та (1.6).

Обчислимо регресійне середнє квадратичне відхилення за формулою (2.2) та знаходимо значення . Обчислення зручно організувати в таблиці 2.2.

Оскільки , то немає підстав сумніватись у правильності обчислень приростів коливань. За даними таблиці 2.2 (графи 6-8)

0, 8695;

0, 6855;

1, 0323;

.

За даними таблиці 2.2 (графи 9-11)

;

;

;

; .

Оскільки (умова 2.3 не виконується), то коливання вважатимемо квазіперіодичними.

Таблиця 2.1

Розрахункова таблиця

×
	12, 9701	51, 8804	16, 0000
	10, 9708	54, 8540	25, 0000
	6, 9571	41, 7426	36, 0000
	3, 0934	21, 6538	49, 0000
	-0, 4266	-3, 4128	64, 0000
	-1, 5967	-14, 3703	81, 0000
	-3, 3762	-33, 7620	100, 0000
	-1, 7688	-19, 4568	121, 0000
	-1, 0231	-12, 2772	144, 0000
	0, 0159	0, 2067	169, 0000
	0, 9748	13, 6472	196, 0000
	-1, 1037	-16, 5555	225, 0000
	-1, 4699	-23, 5184	256, 0000
	-5, 7071	-97, 0207	289, 0000
	-9, 9391	-178, 9038	324, 0000
	-13, 4611	-255, 7609	361, 0000
	-15, 7381	-314, 7620	400, 0000
	-17, 4264	-365, 9544	441, 0000
	-19, 3300	-425, 2600	484, 0000
	-18, 1732	-417, 9836	529, 0000
	-18, 0289	-432, 6936	576, 0000
	-16, 0605	-401, 5125	625, 0000
	-15, 0614	-391, 5964	676, 0000
	-16, 3546	-441, 5742	729, 0000
	-17, 9664	-503, 0592	784, 0000
	-21, 2830	-617, 2070	841, 0000
	-25, 3754	-761, 2620	900, 0000
	-29, 3811	-910, 8141	961, 0000
	-31, 9349	-1021, 9168	1024, 0000
	-33, 8429	-1116, 8157	1089, 0000
	-35, 2330	-1197, 9220	1156, 0000
	-35, 2884	-1235, 0940	1225, 0000
	-34, 1639	-1229, 9004	1296, 0000
	-32, 1511	-1189, 5907	1369, 0000
	-31, 2873	-1188, 9174	1444, 0000
	-33, 0277	-1288, 0803	1521, 0000
Σ	774, 0000	-501, 9984	-15922, 9700	20526, 0000

Рис. 2.3. Графік виправленого загального тренду на кореляційному полі нового ряду

Таблиця 2.2

Розрахункова таблиця

k	Прирости коливань
за один період	загальні
	3, 8057	5, 2117	4, 5612	4, 5262	0, 7205	0, 6855	0, 0350	0, 5191	0, 4699	0, 0012
	3, 1269	2, 2950	2, 5651	2, 6623	0, 4646	0, 3673	0, 0972	0, 2159	0, 1349	0, 0094
	0, 4337	-0, 6165	-0, 2068	-0, 1299	0, 5636	0, 4866	0, 0769	0, 3176	0, 2368	0, 0059
	-2, 1095	-2, 8180	-2, 8920	-2, 6065	0, 4970	0, 2115	0, 2855	0, 2470	0, 0447	0, 0815
	-4, 3090	-3, 7745	-4, 1253	-4, 0696	0, 2394	0, 2951	0, 0557	0, 0573	0, 0871	0, 0031
	-4, 1586	-4, 1423	-4, 7128	-4, 3379	0, 1793	0, 1956	0, 3749	0, 0321	0, 0383	0, 1406
	-4, 6176	-4, 7254	-4, 7824	-4, 7085	0, 0909	0, 0169	0, 0739	0, 0083	0, 0003	0, 0055
	-1, 6897	-2, 2481	-3, 5173	-2, 4850	0, 7953	0, 2369	1, 0323	0, 6325	0, 0561	1, 0656
	0, 3765	-0, 7833	-1, 0723	-0, 4930	0, 8695	0, 2903	0, 5793	0, 7560	0, 0843	0, 3356
	2, 7360	2, 5056	2, 2610	2, 5009	0, 2351	0, 0047	0, 2399	0, 0553	0, 0000	0, 0576
	5, 0154	4, 8252	4, 4453	4, 7620	0, 2534	0, 0632	0, 3167	0, 0642	0, 0040	0, 1003
	4, 2574	4, 8525	4, 0254	4, 3784	0, 1210	0, 4741	0, 3530	0, 0146	0, 2248	0, 1246
Σ	2, 8672	0, 5819	-3, 4509	-0, 0006				2, 9200	1, 3811	1, 9309
	0, 8695	0, 6855	1, 0323

5. а) Точкові прогнози на час і виконуємо шляхом екстраполяції виправленого загального тренду φ (t) з урахуванням наявних коливань за формулою (2.4). Очевидно, що при цьому часу відповідає шостий рівень в четвертому періоді нового часового ряду:
і, відповідно, загальний приріст коливань ,
а часу – . Тоді

;

.

На кореляційному полі із графіком загального тренду будуємо точкові прогнози на час і (рис. 2.4).

б) Для виконання інтервального прогнозу на час знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента для двосторонньої критичної області (додаток 2) значення коефіцієнта довіри :

;

;

.

Обчислюємо за формулою (2.7) коефіцієнт прогнозу :
;

.

За формулами (2.5), (2.6) обчислюємо ліву межі надійного інтервалу:

;

.

в) Аналогічно виконуємо інтервальний прогноз на час :

;

;

;

.

;

.

Будуємо у збільшеному масштабі графіки точкового та інтервального прогнозів на час і (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Графік виправленого загального тренду на кореляційному полі нового ряду та точкові прогнози на час і

Рис. 2.5. Точкові та інтервальні прогнози на час і

8. За даними графи 5 таблиці 2.2 будуємо лінію приростів коливань:

Рис. 2.6. Лінія приростів коливань абсолютного приросту фізичного обсягу експорту

6. За результатами проведеного дослідження можна зробити висновки:

· абсолютний приріст фізичного обсягу експорту має чітко виражені квазіперіодичні коливання з періодом T =12 і загальним трендом
φ (t)= 14, 4464 – 1, 3205 ·t;

· якщо для часу не зміниться вид і характер загального тренду та характер коливань, то можна очікувати, що абсолютний приріст фізичного обсягу експорту повинен знаходитись в межах:

а) від до з надійністю на час ;

б) від до з надійністю на час ;

· за результатами проведених обчислень і візуального аналізу лінії приростів коливань маємо: в кожному періоді максимальні відхилення абсолютного приросту фізичного обсягу експорту від загального тренду в середньому досягають +4, 7620 та –4, 7085 (графа 5 таблиці 2.2).

Запитання для самоконтролю

1. Пояснити необхідність уточнення параметрів загального тренду для вихідного динамічного ряду.

2. Пояснити причину можливого викривлення загального тренду для вихідного часового ряду.

3. Навести процедуру:

а) визначення типу коливань;

б) виконання точкового прогнозу;

в) виконання інтервального прогнозу;

г) побудови лінії приростів коливань.

4. Пояснити статистичний зміст надійності .

5. Пояснити необхідність використання коефіцієнту прогнозу .