Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Занятие 1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.
|
|
Линейное пространство. Множество Lназывается линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия
1) В L введена операция сложения элементов, т.e. 
, определено отображение 
(обозначение: z = x + y)обладающее следующими свойствами:
1 а) x + y = y + x; 1 б)(x + y) + z = x + (y + z);
1 в) 
(элемент 0 называется нулевым);
1 г) 
(элемент − х называется противоположным элементу х).
2)В Lвведена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. 
определено отображение 
(обозначение: у = λ х), обладающее свойствами:
2 а) 
; 2 б) 
.
3) Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
3 а) 
; 3 б) 
.
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство Lназывается действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Система векторов { x 1,..., x s } ⊂ Lназывается линейно зависимой, ecли найдутся числа λ 1,..., λ s не равные одновременно нулю и такие, что λ 1 x 1 +... + λ s x s = 0; в противном случае эта система называется линейно независимой.
Пусть Q ⊂ L − произвольное множество векторов линейного пространства. Упорядоченная система векторов B = (e 1,..., e s)называется базисом в Q, если:
а) e k ∈ Q, k = 1, 2,..., s;
б) система B = (e 1,..., e s) линейно независима;
в) для любого a ∈ Q найдутся такие числа a 1,..., as что
(1)
Формула (1) называется разложением вектора a по базису B.
Коэффициенты a 1,..., as однозначно определяются вектором a и называются координатами этого вектора в базисе B.
Если множество 
обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначаемого rank Q). В частности, если все пространство L имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается L n где n = dim L − число векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства. В противном случае пространство Lназывается бесконечномерным.
Пусть L n − произвольное n -мерное пространство, B = (e 1,..., e n) − фиксированный базис внем. Тогда всякому вектору 
взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.
При этом линейные операции над векторами в координатной форме выглядят следующим образом:
, 
Пусть B = (e 1,..., e n) и B ' = (e '1,..., e ' n) − два различных базиса в L n. Каждый из векторов базиса B' разложим по базису B:
Матрицей перехода T B→ B', от базиса B к базису B' называется матрица
k -й столбец которой есть столбец Е'k координат вектора e ' k, в базисе B. Если x − произвольный вектор из L n, X и X ' − столбцы его координат в базисах B и B' соответственно, то имеет место равенство
(2)
(формула преобразования координат при преобразовании базиса).
Пример 1. Найти координаты геометрического вектора х = − i + 2 j + k в базисе B' состоящем из векторов e '1 = i + j, e '2 = j + k, e '3 = i + k
Решение. Выпишем координаты векторов e '1, e '2, e '3в исходном базисе B = (i, j, k) и найдем матрицу перехода T B→ B'
, 
, 
; 
Обращая матрицу T B→ B' и используя формулу (2), находим
, х = 2 e '1 − e '3
Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.1–4.9 (неч.), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30, 4.37
Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами:
4.1. Множество V3 всех геометрических векторов.
4.3. Множество P п всех многочленов p (t) = an − 1 t n − 1 +... +a 1 t + a 0 степени n − 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
4.5. Множество Мт, п всех матриц размера 
.
Выяснить, являются ли следующие множества линейными пространствами:
4.7. Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.
4.9. Множество всех сходящихся последовательностей.
4.15. В пространстве V3заданы векторы e '1 = i + j, e '2 = i − j, e '3 = − i +2 j − k.
Доказать, что система B' = (e '1, e '2, e '3) − базис в V3и написать матрицу перехода T B→ B', где B = (i, j, k). Найти координаты вектора x = i − 2 j + 2 k в базисе B'.
Пусть B = (i, j, k) и B' = (i ', j ', k ') − прямоугольные базисы в V3. В задачах 4.16− 4.18 найти матрицу перехода T B→ B' и выписать столбец координат вектора x = i − 2 j + k в базисе B'.
4.17. Базис B' получен перестановкой i ' = j, j ' = k, k ' = i.
4.21. Доказать, что система арифметических векторов x 1 = (l, 2, 0, 4), x 2 = (− 1, 0, 5, 1), x 3 = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида 
. Найти ранг и все базисы этой системы.
4.24. Доказать, что система многочленов t 3 + t 2 + t + 1, t 2 + t + 1, t + 1, 1 линейно независима.
4.28. Найти координаты многочлена t 2 − t + 2 в базисе 1, t − 1, (t − 1)2.
В задачах 4.30− 4.34 в произвольном пространстве L n векторы е '1, е '2,..., е ' n и х заданы своими координатами в некотором базисе B. Доказать, что система B' = (е '1, е '2,..., е ' n)базис в L n и найти столбец X' координат вектора х в этом базисе.
4.30. 
, 
, 
, 
В задачах 4.37, 4.38 в произвольном пространстве L n векторы е 1, е 2,..., е n и е '1, е '2,..., е ' n заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы B = (е 1, е 2,..., е n) и B' = (е '1, е '2,..., е ' n) − базисы в L n и написать матрицу перехода T B→ B'.
4.37. 
, 
, 
, 
, 
, 
,
Домашнее задание: ОЛ-6, гл. 4: 4.2–4.10 (четн.), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31
4.2. Множество R n всех арифметических n -компонентных векторов х = (х 1,..., хп).
4.4. Множество C [ a , b ]всех функций f (t), непрерывных на отрезке [ a, b ], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.
4.6. Множество V1всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.
4.8. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию | x | > а, где а > 0 − фиксированное число.
4.10. Множество всех расходящихся последовательностей.
4.16. Базис B' получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов B.
4.18. Базис B' получен поворотом базиса B на угол φ вокруг орта i.
4.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов x 1 = − i + 2 j, x 2 = 2 i − j + k, x 3 = − 4 i +5 j − k, x 4 = 3 i − 3 j + k.
4.25. Доказать, что система многочленов t 2 + 1, − t 2 + 2 t, t 2 − t образует базис в пространства P3. Выписать в этом базисе столбец координат многочлена − 2 t 2 + t − 1.
4.31. 
, 
, 
, 
Ответы
|