Определение реакций в кинематических парах

Рассмотрим положение -5 – положение рабочего хода.

Одним из методов проведения силового анализа является кинетостатичекий метод, в результате выполнения которого определяют реакции в связях кинематических пар , а так же уравновешивающий момент М_ур. Кинетостатика плоского рычажного механизма основана на принципе Даламбера (если к внешним силам, действующим на звенья механизма, добавить силы и моменты пар сил инерции, то механизм будет находиться в квазистатическом равновесии).

В силу присутствия силы притяжения земли, на каждое материальное тело действует сила тяжести, которая определяется по формуле , где – масса звена i -го звена; – ускорение свободного падения ().

Вектор силы тяжести выходит из точки центра масс звена и направляется вертикально вниз.

Далее рассчитаем величины сил инерции Р_i по следующей формуле:

,

где – ускорение центра масс звена, которое определяется на плане ускорений механизма.

Подставляя найденные значения ускорений центров масс в формулу для определения силы инерции, получаем:

Вектор силы инерции Р_i выходит из точки и направляется в противоположную сторону вектору ускорения центра масс звеньев.

Далее рассчитаем моменты сил инерции М_иі звеньев. Данный силовой фактор направлен в противоположную сторону угловому ускорению звена и равен

,

где – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс; – угловое ускорение звена.

Моменты инерции звеньев, Нм

Так как внешние силы (моменты) полезного сопротивления, тяжести, инерции, составляют менее 5% от максимальной из этих сил, действующих в данном положении механизма то их игнорируем.

Вначале выделяем из состава схемы группы звеньев. Исследуемый механизм состоит из трех групп: первичный механизм 0-1, структурная группа звеньев 2-3 и структурная группа звеньев 4-5. Каждую группу вычерчивают отдельно в произвольном масштабном коэффициенте длин , начиная с той, в которую входит выходное звено. Далее приложим все силы, действующие на звенья группы, а отброшенные связи с другими звеньями механизма заменяют реакциями.

Во вращательной паре отброшенная связь заменяется реакцией, которая раскладывается на две составляющие: и - нормальная и тангенциальная реакции соответственно. Вектор всегда направлен вдоль оси звена (параллельно), а вектор - перпендикулярно оси звена.

Вычертим отдельно структурную группу 4-5. Отброшенные связи шатуна с коромыслом и ползуна с направляющей, по принципу освобождаемости от связей, заменим реакциями и соответственно. При этом первая цифра в индексе при реакции это номер звена, которое отбросили, а вторая – номер звена на которое действует реакция.

В данной структурной группе имеется три неизвестных и , значит система дважды статически неопределима.

Запишем уравнения равновесия всех сил по группе

S F=0.

Принимаем масштабный коэффициент m_Р = 25Н/мм и определяем длинны векторов реакций

Найдём величины искомых реакций, замерив их на многоугольнике и умножив на :

Вычертим отдельно структурную группу 2-3. Отброшенные связи шатуна с кривошипом и коромысла со стойкой, по принципу освобождаемости от связей, заменим реакциями и соответственно. При этом первая цифра в индексе при реакции это номер звена, которое отбросили, а вторая – номер звена на которое действует реакция.

В данной структурной группе имеется три неизвестных и , значит система трижды статически неопределима.

Для определения величины рассмотрим отдельно коромысло и составим для него уравнение равновесия, получим:

Тогда будет равна:

Знак плюс в полученном значении означает, что взятое ранее направление вектора реакции выбрано нами верно.

В структурной группе 2-3 осталось две неизвестных силы, их можно определить построением векторного многоугольника сил. Составляем уравнение равновесия , по которому будем строить многоугольник. По правилам составления, неизвестные реакции должны находиться по краям суммы, а внутри идёт сумма векторов известных сил вначале для одного звена потом для другого.

Тогда для СГ 2-3 будем иметь:

.

Равенство нулю векторной суммы означает, что многоугольник сил является замкнутым.

Принимаем масштабный коэффициент m_Р = 25 Н/мм и определяем длинны векторов реакций

Найдём величины искомых реакций, замерив их на многоугольнике и умножив на :

Вычертим следующую группу звеньев (первичный механизм 0-1). Перенесём с расчётной модели все силы, действующие на звенья данной группы. Отброшенную связь кривошипа с шатуном заменим реакцией , которая по модулю равна , но в противоположную сторону направлена, т.е. . Следовательно, из предшествующего многоугольника сил берём вектор , переносим его в точку A на кривошипе и в противоположную сторону направляем, тем самым найдём направление реакции .

Определим уравновешивающий момент

В первичном механизме осталась одна неизвестная реакция . Чтобы её найти построим векторный многоугольник сил.

Запишем уравнения равновесия всех сил по группе

Отсюда

В качестве проверки определим для рассматриваемого положения механизма уравновешивающую силу с помощью рычага Жуковского.

Решение задачи ведем в следующей последовательности.

План скоростей для рассматриваемого рабочего положения механизма поворачиваем на 90⁰ в сторону, противоположную вращению кривошипа.

Все силы, действующие на звенья механизма, включая силы инерции и искомую уравновешивающую силу, переносим параллельно самим себе в одноименные точки повернутого плана. Если на звено действует момент сил, то этот момент следует предварительно представить на звене механизма как пару сил, вычислив их величины. Плечо пары выбирается на звене, к которому приложен момент, произвольно

Найденные силы пар переносим на рычаг Жуковского по общему правилу.

Если на звено действует момент сил, то этот момент следует предварительно представить на звене механизма как пару сил, вычислив их величины. Плечо пары выбирается на звене, к которому приложен момент, произвольно.

Составляем уравнение моментов всех сил относительно полюса повернутого плана скоростей:

Рассмотрим положение 6 – положение холостого хода

Подставляя найденные значения ускорений центров масс в формулу для определения силы инерции, получаем:

Моменты инерции звеньев, Нм

Вначале выделяем из состава схемы группы звеньев. Исследуемый механизм состоит из трех групп: первичный механизм 0-1, структурная группа звеньев 2-3 и структурная группа звеньев 4-5. Каждую группу вычерчивают отдельно в произвольном масштабном коэффициенте длин , начиная с той, в которую входит выходное звено. Далее приложим все силы, действующие на звенья группы, а отброшенные связи с другими звеньями механизма заменяют реакциями.

Во вращательной паре отброшенная связь заменяется реакцией, которая раскладывается на две составляющие: и - нормальная и тангенциальная реакции соответственно. Вектор всегда направлен вдоль оси звена (параллельно), а вектор - перпендикулярно оси звена.

Вычертим отдельно структурную группу 4-5 и приложим все силы, действующие на звенья данной группы. Отброшенные связи шатуна с коромыслом и ползуна с направляющей, по принципу освобождаемости от связей, заменим реакциями и соответственно. При этом первая цифра в индексе при реакции это номер звена, которое отбросили, а вторая – номер звена на которое действует реакция.

В данной структурной группе имеется три неизвестных и , значит система трижды статически неопределима.

В первую очередь определяем тангенциальные реакции, составляя уравнения равновесия

Для определения величины рассмотрим отдельно четвертое звено и составим для него уравнение равновесия, получим:

Запишем уравнения равновесия всех сил по группе

S F=0.

Принимаем масштабный коэффициент m_Р =1.3 Н/мм и определяем длинны векторов реакций

Переходим к построению векторного многоугольника сил. На чистом месте строим линию, на которой лежит вектор (параллельно оси шатуна). Так как размер вектора нам пока неизвестен, то произвольно на данной прямой ставим точку и уславливаемся, что она будет являться вершиной искомого вектора . Далее в сумме идут вектора известных сил по величине и направлению, поэтому их по порядку строим. При этом каждый последующий в сумме вектор строится из вершины предшествующего. Пострив вектор Р_и5, из его вершины, строим линию действия неизвестной реакции R₀₅. При этом линии действия векторов и R₀₅ пересекаются, замыкая многоугольник сил и определяя действительные направления данных векторов и их модули.

Найдём величины искомых реакций, замерив их на многоугольнике и умножив на :

Вычертим отдельно структурную группу 2-3. Отброшенные связи шатуна с кривошипом и коромысла со стойкой, по принципу освобождаемости от связей, заменим реакциями и соответственно. При этом первая цифра в индексе при реакции это номер звена, которое отбросили, а вторая – номер звена на которое действует реакция.

В данной структурной группе имеется четыре неизвестных и , значит система трижды статически неопределима.

В первую очередь определяем тангенциальные реакции, составляя уравнения равновесия .

Для определения величины рассмотрим отдельно второе звено и составим для него уравнение равновесия, получим:

Тогда будет равна:

Знак плюс в полученном значении означает, что взятое ранее направление вектора реакции выбрано нами верно.

Для определения величины рассмотрим отдельно коромысло и составим для него уравнение равновесия, получим:

Тогда будет равна:

Знак плюс в полученном значении означает, что взятое ранее направление вектора реакции выбрано нами верно.

В структурной группе 2-3 осталось две неизвестных силы (), их можно определить построением векторного многоугольника сил. Составляем уравнение равновесия , по которому будем строить многоугольник. По правилам составления, неизвестные реакции должны находиться по краям суммы, а внутри идёт сумма векторов известных сил вначале для одного звена потом для другого.

Тогда для СГ 2-3 будем иметь:

.

Равенство нулю векторной суммы означает, что многоугольник сил является замкнутым.

Принимаем масштабный коэффициент m_Р =2.5 Н/мм и определяем длинны векторов реакций

Переходим к построению векторного многоугольника сил. На чистом месте строим линию, на которой лежит вектор (параллельно оси шатуна). Так как размер вектора нам пока неизвестен, то произвольно на данной прямой ставим точку и уславливаемся, что она будет являться вершиной искомого вектора . Далее в сумме идут вектора известных сил по величине и направлению, поэтому их по порядку строим. При этом каждый последующий в сумме вектор строится из вершины предшествующего. Поострив вектор , из его вершины, строим линию действия неизвестной реакции (параллельно оси коромысла). При этом линии действия векторов и пересекаются, замыкая многоугольник сил и определяя действительные направления данных векторов и их модули.

Найдём величины искомых реакций, замерив их на многоугольнике и умножив на :

Вычертим следующую группу звеньев (первичный механизм 0-1). Перенесём с расчётной модели все силы, действующие на звенья данной группы. Отброшенную связь кривошипа с шатуном заменим реакцией , которая по модулю равна , но в противоположную сторону направлена, т.е. . Следовательно, из предшествующего многоугольника сил берём вектор , переносим его в точку A на кривошипе и в противоположную сторону направляем, тем самым найдём направление реакции .

Определим уравновешивающий момент

В первичном механизме осталась одна неизвестная реакция . Чтобы её найти построим векторный многоугольник сил.

Запишем уравнения равновесия всех сил по группе

Отсюда

В качестве проверки определим для рассматриваемого положения механизма уравновешивающую силу с помощью рычага Жуковского.

Решение задачи ведем в следующей последовательности.

План скоростей для рассматриваемого рабочего положения механизма поворачиваем на 90⁰ в сторону, противоположную вращению кривошипа.

Все силы, действующие на звенья механизма, включая силы инерции и искомую уравновешивающую силу, переносим параллельно самим себе в одноименные точки повернутого плана. Если на звено действует момент сил, то этот момент следует предварительно представить на звене механизма как пару сил, вычислив их величины. Плечо пары выбирается на звене, к которому приложен момент, произвольно

Найденные силы пар переносим на рычаг Жуковского по общему правилу.

Если на звено действует момент сил, то этот момент следует предварительно представить на звене механизма как пару сил, вычислив их величины. Плечо пары выбирается на звене, к которому приложен момент, произвольно.

Определяем величины пар сил от моментов

.

Составляем уравнение моментов всех сил относительно полюса повернутого плана скоростей: