Блок информации. 1.Определение регрессии Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака

1.Определение регрессии	Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым. С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.
2. Определение коэффициента регрессии	Коэффициент регрессии – абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого, связанного с ним признака, на установленную единицу измерения.
3. Формула коэффициента регрессии	Ry/x - коэффициент регрессии, rxy – коэффициент корреляции между признаками х и у. (σ y и σ x) – среднеквадратические отклонения признаков х и у. В нашем примере, rxy= - 0, 96 (коэффициент корреляции между изменениями среднемесячной температуры в осенне-зимний период (х) и средним числом инфекционно-простудных заболеваний (у)),
	σ x = 4, 6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период; σ y = 8, 65 (среднеквадратические отклонение числа инфекционно- простудных заболеваний), Таким образом, Ry/x – коэффициент регрессии Ry/x = –0, 96 х (4, 6 / 8, 65) = 1, 8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (х) на 1 градус среднее число инфекционно- простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1, 8 случаев.
4. Уравнение регрессии.	y = My + Ry/x (x–Mx), где: y- средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (x), x - известная средняя величина другого признака, Ry/x - коэффициент регрессии, Mx, My – известные средние величины признаков х и у. Например, среднее число инфекционно- простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х=–9˚, Ry/x = 1 8 заболеваний, Mx = –7˚, My = 20 заболеваний, то y = 20 + 1, 8 х (9–7) = 20 + 3, 6= 23, 6 заболеваний. Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).
5. Назначение уравнения регрессии	Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график – линия регрессии, по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
6. Сигма регрессии (формула)	σ Ry/x = σ у , где σ Ry/x – сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии; σ у - среднеквадратическое отклонение признака у; r ху – коэффициент корреляции между признаками х и у. Так, если σ у – среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8, 65, rху – коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен – 0, 96, то
7. Назначение сигмы регрессии	Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у). Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудниых заболеваний при температуре воздуха х1 = – 6˚ может колебаться в пределах от 15, 78 заболеваний до 20, 62 заболеваний. При х2 = – 9˚ среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21, 18 заболеваний до 26, 02 заболеваний и т.д. Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.
8. Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии.	а) коэффициент регрессии – Ry/x; б) уравнение регрессии – y = My + Ry/x (x–Mx); в) сигма регрессии - σ Ry/x .
9. Последователь- ность расчетов и графического изображения шкалы регрессии	а) определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3 блока информации). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см. б) по формуле уравнения регрессии (см п.4 блока информации) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у1 , у2,, у3…)* для определнного значения роста (х1 , х2 , х3 …). При этом средние значения массы тела и роста (Mx, и My) для определенного возраста и пола известны. в) вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6 блока информации). г) на основании известных значений х1, х2, х3 и соответствующих им средних значений у1, у2,, у3, а также наименьших (у – σ Ry/x) и наибольших (у + σ Ry/x) значений (у) построить шкалу регрессии. Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х1 , х2 , х3 (ось ординат), т.е. строится линия регресии, например, зависимости массы тела (у) от роста (х). Затем, в соответствующих точках у1, у2,, у3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у1 , у2, у3.
10. Практическое использование шкалы регрессии	Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности, по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела – (у) для данного роста (х) (у ± 1 σ Ry/x). Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии (у ± 2 σ Ry/x). Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).

Задача-эталон

По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5-ти лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет + 0, 9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.

Требуется:

1) рассчитать коэффициент регрессии,

2) по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5-ти лет при росте, равном х₁ = 100 см, х₂ = 110 см, х₃= 120 см;

3) рассчитать сигму регрессии и построить шкалу регрессии и результаты ее решения представить ее графически,

4) сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице. Этапы расчетов представлены в табл. 4.7.1.

Таблица 4.7.1

Решение

1) Коэффициент регрессии:

R_y/x = r_xy х (σ _y/σ _x) = +0, 9 х (0, 8 / 4, 4) = 0, 16 кг/см.

Таким образом, при увеличении роста мальчиков 5 лет на 1 м масса тела увеличивается на 0, 16 кг.

2) Уравнение регрессии:

y = M_y + R_y/x (x–M_x )

3) Сигма регрессии:

σ _{Ry/x =} σ _у

4) Шкала регрессии:

5) Графическое изображение регрессии:

Вывод: Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение «регрессии». В чем сущность метода регрессии?

2. Дайте определение коэффициента регрессии.

3. Какие данные нужно иметь, чтобы рассчитать коэффициент регрессии?

4. Какой можно сделать вывод, если коэффициент регрессии веса по росту равен 0, 26 кг/см?

5. Для чего используется формула уравнения регрессии?

6. Для какой цели нужно рассчитать сигму регрессии?

7. Как построить и использовать шкалу регрессии физического развития