Определение 1.3. Конъюнкцией тух. высказываний

PP

и

QQ

называется новое высказывание, обозначаемое

P∧ QP∧ Q

или

P& QP& Q

(читается: "

PP

и

QQ

"), которое истинно лишь в единственном случае, когда истинны оба исходных высказывания

PP

и

QQ

, и ложно во всех остальных случаях. Другими словами, логическое значение высказывания

P∧ QP∧ Q

связано с логическими значениями высказываний

PP

и

QQ

, как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции конъюнкции:

λ (P)0011λ (Q)0101λ (P∧ Q)0001λ (P)λ (Q)λ (P∧ Q)000010100111

Практика полностью подтвердила, что именно такое распределение значений истинности наиболее соответствует тому смыслу, который придается в процессе мыслительной деятельности связующему союзу " и".

Пример 1.4. Применим операцию конъюнкции к высказываниям

A2A2

и

A3A3

. Получим высказывание

A2∧ A3A2∧ A3

л Л3: " Саратов находится на берегу Невы, и все люди смертны". Конечно, мы не воспринимаем это высказывание как истинное из-за первой, ложной, его части. К выводу о ложности полученного высказывания также придем, исходя из логических значений исходных высказываний

A2A2

и

A3A3

и определения 1.3 конъюнкции на основании приведенной там таблицы. В самом деле,

λ (A2∧ A3)=λ (A2)∧ λ (A3)=0∧ 1=0.λ (A2∧ A3)=λ (A2)∧ λ (A3)=0∧ 1=0.

Дизъюнкция двух высказываний

Определение 1.5. Дизъюнкцией двух высказываний

PP

и

QQ

называется новое высказывание, обозначаемое

P∨ QP∨ Q

(читается "

PP

или

QQ

"), которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний

PP

или

QQ

истинно, и ложно в единственном случае, когда оба высказывания

PP

и

QQ

ложны. Другими словами,

P∨ QP∨ Q

— такое высказывание, логическое значение которого связано с логическими значениями исходных высказываний

PP

и

QQ

так, как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции дизъюнкции:

λ (P)0011λ (Q)0101λ (P∨ Q)0111λ (P)λ (Q)λ (P∨ Q)000011101111

Пример 1.6. Применим операцию дизъюнкцию к высказываниям

A3A3

и

A5A5

. Получим составное высказывание

A3∨ A5: A3∨ A5:

" Все люди смертны, или

7< 47< 4

". Несмотря на первоначально кажущуюся странность этого высказывания, нет сомнений в его истинности. К аналогичному заключению приводит также формальное вычисление логического значения данного высказывания по таблице из определения 1.5, исходя из логических значений высказываний

A3A3

и

A5: A5:

λ (A3∨ A5)=λ (A3)∨ λ (A5)=1∨ 0=1.λ (A3∨ A5)=λ (A3)∨ λ (A5)=1∨ 0=1.

В то же время высказывание " Саратов находится на берегу Невы, или А. С. Пушкин — великий русский математик", являющееся дизъюнкцией высказываний

A2A2

и

A7A7

, безусловно, ложно, что полностью согласуется с формальным вычислением его логического значения по таблице из определения 1.5:

λ (A2∨ A7)=λ (A2)∨ λ (A7)=0∨ 0=0.λ (A2∨ A7)=λ (A2)∨ λ (A7)=0∨ 0=0.

Импликация двух высказываний