Определение 1.7. Импликацией двух высказываний

PP

и

QQ

называется новое высказывание, обозначаемое

P→ QP→ Q

(читается: " если

PP

, то

QQ

", или " из

PP

следует

QQ

", или "

PP

влечет

QQ

", или "

PP

достаточно для

QQ

", или "

QQ

необходимо для

PP

"), которое ложно в единственном случае, когда высказывание

PP

истинно, а

QQ

— ложно, а во всех остальных случаях — истинно. Другими словами, логическое значение высказывания

P→ QP→ Q

связано с логическими значениями высказываний

PP

и

QQ

, как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции импликации:

λ (P)0011λ (Q)0101λ ()1101λ (P)λ (Q)λ ()001011100111

В высказывании

P→ QP→ Q

высказывание

PP

называется посылкой или антецедентом, а высказывание

QQ

— следствием или консеквентом.

При определении импликации с еще большей силой встает вопрос, почему именно такое распределение принято в ее таблице истинности. Последние две строки в ней достаточно хорошо согласуются с нашим пониманием выражения " если..., то...". Их обоснованием могут служить следующие соображения. Импликация призвана отразить процесс рассуждения, умозаключения. Общая характеристика этого процесса следующая. Если мы исходим из истинной посылки и правильно (верно) рассуждаем, то мы приходим к истинному заключению (следствию, выводу). Другими словами, если мы исходили из истинной посылки и пришли к ложному выводу, значит, мы неверно рассуждали. В импликации

P→ QP→ Q

имеется посылка

PP

, следствие

QQ

и процесс рассуждения

→ →

. Процесс рассуждения как раз и моделируется результатом операции

P→ QP→ Q

. Приведенное соображение служит обоснованием результата

1→ 0=01→ 0=0

, а также результата

1→ 1=11→ 1=1

Определенные сомнения возникают при оценке адекватности первых двух строк в таблице, определяющей импликацию. В первой строке при ложной посылке и ложном следствии импликация признается истинной. Следующие два примера добавляют аргументы в пользу такого определения логического значения импликации в этом случае. Рассмотрим такое высказывание: " Если число делится на 5, то и его квадрат делится на 5". Его истинность не вызывает сомнения. В частности, мы могли бы сказать: " Если 10 делится на 5, то

делится на 5" или " Если 11 делится на 5, то и

делится на 5". В первом из этих высказываний и посылка, и следствие истинны, во втором — и посылка, и следствие ложны. Тем не менее оба этих высказывания истинны. Для большей убедительности второе высказывание можно сформулировать в сослагательной форме: " Если бы 11 делилось на 5, то и

делилось бы на 5". Есть утверждения такого типа и в житейской речи, которые признаются вполне нормальными. Например, " Если ты можешь переплыть Черное море, то я — турецкий султан".

В пользу второй строки таблицы, когда импликация остается истинной при ложной посылке и истинном следствии, говорит такой пример. Высказывание " Если первое слагаемое делится на 5 и второе слагаемое делится на 5, то и сумма делится на 5", несомненно, истинно. Но, в частности, мы могли бы сказать: " Если 10 делится на 5 и 20 делится на 5, то 30 делится на 5" или " Если 12 делится на 5 и 13 делится на 5, то 25 делится на 5". В первом из этих высказываний и посылка истинна (как конъюнкция двух истинных выражений), и следствие истинно. Во втором же высказывании посылка ложна (как конъюнкция двух ложных высказываний), а следствие истинно. Тем не менее, как мы уже отметили, оба этих высказывания признаются истинными.