Биномиальное распределение. Неравенство Бернулли.

5.1. Схемой Бернулли называют следующую ситуацию: производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится событие А с одной и той же вероятностью p.

Вероятность того, что событие А появится k раз вычисляется по формуле

, где – число сочетаний из n элементов по k, .

Случайная величина Х, которая принимает целые положительные значения k = 1, 2, …, n с вероятностью , распределена по биномиальному закону (закону Бернулли), ее математическое ожидание , дисперсия ; .

5.2. При больших n применяются приближенные формулы

– локальная теорема Муавра-Лапласа;

– интегральная теорема Муавра-Лапласа. (Значения и см. в таблицах 1, 2 в ).

5.3. Связь между относительной частотой появления события А и его вероятностью при распределении Бернулли выражается неравенством , которое называется неравенством Бернулли.

Пример 5.1. Прибор содержит 8 элементов. Каждый из элементов выходит из строя за время Т независимо от других с вероятностью 0, 2. Найти вероятность выхода из строя за время работы Т двух элементов.

Решение. В этой задаче

По формуле Бернулли

.

Пример 5. 2. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет а) 267 раз; б) не менее 260 и не более 274 раз.

Решение. Событие А – выпало число очков, кратное трем.

.

а) будем вычислять по локальной теореме Муавра-Лапласа

; здесь n = 800, k = 267,

;

, найдено по таблице 1 .

б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа

, .

Значение и найдены по таблице 2 .

Пример 5.3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0, 3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет находиться в пределах от 0, 2 до 0, 4?

Решение. Связь между частотой события и его вероятностью описывается неравенством Бернулли: , здесь

Требуется найти