Линейная модель парной регрессии и корреляции

Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Оценки которых могут быть найдены разными методами:

1. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике 2 точки провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров.

Параметр - опредеояется как точка пересечения линии регрессии с осью оу, а параметр оценивается исходя из угла наклона линии регрессии, как , где - это приращение результата у, а - это приращение фактора х.

2. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

(1.2)

После несложных преобразований, получим нормальную систему линейных уравнений для оценки параметров и :

(1.3)

Решая систему уравнений (1.3), найдем искомые оценки параметров и .

3. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.3):

,

(1.4)

где ,

,

,

.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Например, если в функции издержек у = 3000 + 3*х, у- издержки, а х – количество единиц продукции, характеризуется уравнением то это значит, что с ростом цены на 1 денежную единицу, то следовательно с увеличением объема продукции х на 1 единицу, издержки производства у в среднем возрастут на 3 денежные единицы.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально – значение при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.

Интерпретации поддается лишь знак при параметре .

Если , то относительное изменение результата у, происходит медленнее, чем изменяется фактор х.

Пример 1 Построить уравнение линейной регрессии и найти теоретические данные , а также среднее квадратическое отклонение по х и у.

Расчетная таблица

№	Выпуск продукции, тыс. ед. х	Затраты на производство, млн. руб. у	х*у	х2	у2			остаточная		общая	факторная
						31, 1	1, 1	1, 11	0, 035		6315, 8	4, 592
						67, 9	-2, 1	4, 43	0, 030		1684, 2	1, 306
						141, 6	-8, 4	70, 91	0, 056		1263, 2	0, 735
						104, 7	4, 7	22, 44	0, 047		52, 6	0, 020
						178, 4	8, 4	70, 91	0, 050		4105, 3	3, 449
						104, 7	4, 7	22, 44	0, 047		52, 6	0, 020
						141, 6	-8, 4	70, 91	0, 056		1263, 2	0, 735
Итого									0, 322			10, 857
Ср.зн	3, 14	110, 00	402, 86	11, 43	14242, 86				0, 05	2142, 86

Итоги продиктовать!

Сред значения не давать!

Уравнение регрессии имеет вид

Подставив в уравнение значения х, найдем теоретические значения у.

и т.д.

, =

=

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:

(1.5)

где ,

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: .

Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость).

Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации.

Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.6)

где ,

.

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

Произведем расчет по таблице 1.

=

=14242, 86-110²=2142, 86

=

Соответственно величина (1 - r²), характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием неучтенных в модели факторов.

В нашем примере r² = 0, 982, следовательно, уравнением регрессии объясняется 98, 2% дисперсии результативного признака н, а на долю прочих факторов приходится лишь 1, 8% ее дисперсии (то есть остаточная дисперсия).

Чем больше доля объясненной вариации, тем меньше роль прочих факторов.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.