Закон больших чисел

Как уже отмечалось в начале, математическая статистика изучает статистические закономерности, т.е. та­кие закономерности, которые проявляют себя лишь при ис­следовании массы однородных явлений. Это положение полностью относится и к вероятности случайных явлений, где действуетзакон больших чисел. Матема­тическая теория этого закона была изложена еще в XVIII веке в трудах Я. Бернулли. Последующее развитие его осу­ществлено в середине XIX столетия, особенно в трудах вы­дающегося отечественного математика П.Л.Чебышева.

В настоящее время существуют точные математические формулировки закона больших чисел. Однако мы восполь­зуемся более простой и поэтому более понятной для лиц, не имеющих специальной математической подготовки, формулой этого закона, которая предложена Р. Мизесом, хотя при стро­го математическом подходе его трактовка закона и вытека­ющее из него определение вероятности не достаточно точны. Закон больших чисел в этом виде может быть представлен следующей формулой:

lim (Xn - Pn)
n → ¥

т.е. в пределе при числе наблюдений (n), стремящемся к бесконечности, разность между наблюдаемой частотой какого-либо явления и его ма­тематической вероятностью стремится к нулю. Иначе говоря, фактическая частота наблюдаемого слу­чайного явления совпадает с вычисленной вероятностью его (их разность только при этом условии может быть равна нулю) лишь при достаточно большом числе наблюдений.

Действие этого закона может быть проиллюстрировано следующим примером. Как уже понятно из ранее изложен­ного, вероятность выпадения герба при бросании монеты равна Р_(А) = 1/2 = 0, 5, т.е. при бросании монеты в половине всех случаев должен выпадать герб, а в половине - противоположная сторона (решка). Однако легко убедиться, что, если мы бросим монеты несколько раз, то установленного ре­зультата не получим: может подряд выпасть несколько раз только герб или только противоположная сторона, либо та и другая в любых соотношениях. В соответствии с законом больших чисел, чтобы фактиче­ская частота выпадения герба совпала с ее вероятностью (0, 5) надо значительно увеличить число наблюдений (броса­ний монеты).

В XIX веке английский математик К.Пирсон увеличил число бросаний до 12000 и в 6019 случаях у него выпал герб. Таким образом, частота выпадения герба составила: 6019/12000= 0, 5016, т.е. отличие от вероятности уменьшилось по­чти вдвое (до 16 десятитысячных). Затем он повторил опыт, увеличив число бросаний до 24000 и герб выпал при этом 12012 раз; т.е. частота 12012/24000 = 0, 5005; отличие ее от вероят­ности стало еще в три раза меньше. Таким образом, по мере увеличения числа наблюдений фактическая частота выпадения герба по величине становит­ся все более близкой к величине его математической вероят­ности и, следовательно, разность между ними уменьшается, приближаясь к нулю.

Из этого следует очень важный вывод, на основании которого в ряде случаев применяется так называемыйстатисти­ческий метод определения вероятности.

В медицине, как и в других отраслях научного знания, мы нередко сталкиваемся с такими явлениями, при которых найти вероятность его появления обычным математическим расчетом не представляется возможным; но из изложенного ранее закона следует, что при достаточно большом числе наблюдений найденную опытным методом частоту явле­ния можно считать вероятностью его появления, т.е. в этом случае вероятность Р события А находится по формуле: Р_(А) = M/n, где n - общее количество испытаний (наблюде­ний), а М - число появления при этих испытаниях интере­сующего нас явления А.

Например, если мы имеем группу 20000 больных, страда­ющих, кариесом, а у 12000 из них зарегистрирован один и тот же симптом (А ─ боль), то очевидно, вероятность наличия этого симптома у каждого больного, страдающего кариесом, будет равна: Р_(А) = 12000/20000=0, 6.

Следует остановиться еще на одном замечании. Некото­рые не совсем сведущие в статистике лица, исходя из закона больших чисел, полагают, что достаточно достоверные данные опытов могут быть получены только при очень большом количестве наблюдений; или, что нельзя вычислять процен­тами, если сумма всех наблюдений менее 100 и т.д. На са­мом деле это совсем не так.

Методы математической статистики позволяют определить степень достоверности явлений при любом (даже очень ма­лом) количестве наблюдений, а также заранее рассчитать ко­личество необходимых наблюдений, чтобы получить резуль­таты, достоверные с заданной величиной вероятности.

В законе больших чисел проявляется диалектическая вза­имосвязь категорий случайного и необходимого. Появление каждого явления (события) зависит, с одной стороны, от действияпостоянных причин, содержащихся в самой сущности этого явления (иначе говоря, внутренних для него), а с другой стороны, под влияниемслучайных(внешних) причин, не связанных с самой сущностью иссле­дуемого явления.

Действие последних причин неустойчиво и беспорядочно, они могут вызывать отклонения при малом числе наблюде­ний как в ту, так и в другую сторону.

При достаточно же большом числе наблюдений действие таких случайных причин, вызывающих отклонения в отрицательном и положительном направлениях, как бы взаимно по­гашается и частота возникновения события определяется уже лишь его внутренними (постоянными) причинами.

Любой врач постоянно анализирует инфор­мацию о методах лечения и лекарственных препаратах. Нередко эта информация оказывается не­достаточно объективной. Любая научная ги­потеза (например, имеет ли изучаемый препарат преимущества перед другими средствами?) должна быть проверена в клиническом исследовании. Ниже перечис­лены различные варианты исследований в порядке убы­вания степени их «доказательности» при изучении эффективности лечения.

Рандомизированное двойное слепое контролируемое испытание (под рандомизацией понимают процесс случайного распределения больных между группами сравнения, позволяющий добиться эквивалентности - по полу, возрасту, сопутствующей терапии и т.д., а двойной слепой метод - ни врач, ни больной не знают, какой препарат получает пациент).