Средние величины

Основные понятия. В медико-социальных исследованиях наряду с абсолютны­ми и относительными широко используются средние величи­ны. К вычислению средней величины в медицинских иссле­дованиях обычно прибегают, когда требуется получить обоб­щающую характеристику явлений (процессов) по какому-либо количественному признаку. Средняя величина характеризует весь ряд наблюдений одним числом. Она нивелирует, ослаб­ляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и выдвигает на первый план основное, ти­пичное свойство явления.

В практической деятельности врача-стоматолога средние величины ис­пользуются:

Для характеристики физического развития, основных антропометрических признаков (морфологических и функ­циональных: рост, масса тела, окружность груди, спиромет­рия, динамометрия, становая сила и др.) и их динамики (средние величины прироста или убыли признака). Разработ­ка этих показателей и их сочетаний в виде региональных стандартов имеет большое практическое значение для анализа здоровья населения, в особенности его детских групп, а также спортсменов, военнослужащих и лиц, находящихся на дис­пансерном учете.

Для характеристики стоматологического статуса различных групп населения, в частности показателя КПУ, OSHI, CPITN и др., а так же для характеристики различных сторон медицинской деятельности. Например, при анализе больничной помощи применяются показатели: средняя длительность пребывания больного на койке, среднее число дней занятости койки, среднее число рентгенологических исследований, лаборатор­ных анализов, физиотерапевтических процедур на одного пролеченного больного. В практике амбулаторно-поликлинической помощи применяются такие показатели, как среднее число обращений или посещений на одного жителя в год, среднее число посещений на одно обращение, средняя дли­тельность случая потери трудоспособности. В средних величи­нах обычно выражаются показатели нагрузки врачей (число выполненных УЕТ, среднее число посещений, приходящихся на одного врача, среднее число хирургических операций, рентгеновских снимков, лабо­раторных анализов, обследованных объектов, эндоскопиче­ских исследований).

Для характеристики физиологических сдвигов в боль­шинстве экспериментально-лабораторных исследований (средняя температура, среднее число ударов пульса в минуту, средний уровень артериального давления, средняя скорость или среднее время реакции на тот или иной раздражитель, средние уровни содержания биохимических элементов в кро­ви, моче, тканях).

Статистические коэффициенты и средние величины пред­ставляют собой вероятностные величины, некоторые усред­ненные результаты. Но между ними существуют значительные различия.

Коэффициент характеризует признак, встречающийся только у некоторой части статистического коллектива, — так называемый альтернативный признак, который может иметь или не иметь место (рождение, смерть, заболевание, инвалид­ность). Средние же величины охватывают признаки, прису­щие всем членам коллектива, но в разной степени (масса те­ла, рост, возраст) — этими признаками обладают все исследуемые. Коэффициенты применяются для измерения качест­венных признаков, а средние величины — для варьирующих количественных признаков. При использовании средних ве­личин речь идет об отличиях в числовых размерах признака, а не о факте его наличия или отсутствия. В лабораторно-экспериментальной практике статистические коэффициенты при­меняются для характеристики реакций, учитываемых в аль­тернативной форме (" все или ничего": реакция наступает или не наступает). При учете реакции в количественной градуиро­ванной форме — концентрация, дозировка, время — для их обобщения применяются средние величины.

Основное достоинство средних величин — их типичность: средняя сразу дает ориентировку, общую характеристику яв­ления. В связи с этим возникают две предпосылки, два усло­вия для вычисления средних:

· средние величины должны быть рассчитаны на основе качественно однородных статистических групп, имею­щих существенные общие социально-экономические или биологические характеристики (если изучаемая со­вокупность качественно неоднородна по составу, то вы­численная на основе ее данных величина не будет пра­вильно отражать типичные, характерные особенности изучаемого явления);

· средние величины должны быть рассчитаны на совокупностях, имеющих достаточно большое число наблюде­ний; это требование основано на законе больших чисел.

В медико-социальных исследованиях обычно используются 4 вида средних величин: средняя арифметическая (М — Me­dia), мода (М_о), медиана (M_е) и средняя прогрессивная (М_пр). Другие виды средних величин применяются в специальных экспериментальных углубленных исследованиях. Так, средняя квадратическая применяется для определения среднего диа­метра среза клеток, результата накожных иммунологических проб, для определения средней площади опухолей; средняя кубическая — для определения среднего объема опухолей.

Средняя геометрическая применяется при расчетах численно­сти населения в межпереписные годы, при вычислении сред­него темпа роста или прироста, при обработке результатов титрования антител, токсинов и вакцин в эксперименте. Средняя гармоническая может применяться при изучении титров лизоцимов, коли-титра и коли-индекса.

Чаще всего в санитарной статистике используется средняя арифметическая величина, представляющая собой как бы прототип остальных средних.

Средние величины рассчитываются на основании вариаци­онных рядов.

Вариационный ряд — это статистический ряд распределения значений изучаемого количественного признака. Вариационные ряды бывают следующих видов:

· простые и взвешенные;

· сгруппированные (интервальные) и несгруппированные;

· прерывные (дискретные) и непрерывные;

· четные и нечетные;

· одномодальные и мультимодальные;

· симметричные и асимметричные.

Вариационный ряд состоит из вариант (v — vario) и соот­ветствующих им частот (р — pars или иногда f — frequency). Вариантой (v) называют каждое числовое значение изучаемого признака. Частота (р) — абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречает­ся данная варианта в вариационном ряду. Общее число случа­ев наблюдений, из которых состоит вариационный ряд, обо­значают буквой п (numerus).

Если исследователь имеет не более 30 наблюдений, то дос­таточно все значения признака расположить в нарастающем или в убывающем порядке (от максимальной варианты до ми­нимальной или наоборот) и указать частоту каждой варианты. При большом числе наблюдений (более 30) вариационный ряд рекомендуется сгруппировать.

Простой вариационный ряд представляет собой ряд, в кото­ром каждая варианта представлена единым наблюдением, т. е. ее частота равна единице. Во взвешенном вариационном ряду ка­ждому значению варианты соответствует разное число частот.

Сгруппированный (интервальный) ряд имеет варианты, со­единенные в группы, объединяющие их по величине в преде­лах определенного интервала. В несгруппированном ряду каж­дой отдельной варианте соответствует определенная частота.

В прерывном (дискретном) ряду варианты выражены в виде целых (дискретных) чисел, а в непрерывном ряду варианты мо­гут быть выражены дробным и сколь угодно малым числом.

Четный вариационный ряд содержит четное число наблюде­ний (п),

нечетный ряд — нечетное число п.

В симметричном вариационном ряду все виды средних вели­чин совпадают либо практически очень близки.

Мультимодальный ряд характеризуется неоднородностью.

Существуют различные способы определения средних ве­личин в вариационных рядах.

Под средней арифметической величиной (М) в статистике понимают обобщенную величину, которая характеризует ти­пичный размер или средний уровень варьирующего признака в рас­чете на единицу однородной совокупности в конкретных услови­ях места и времени. Средняя арифметическая величина имеет следующие свойства:

в строго симметричном ряду средняя занимает средин­ное положение; М = М_о = М_е, т. е. средняя арифмети­ческая, мода и медиана совпадают или близко прилежат друг к другу;

средняя является обобщающей величиной, она вскрыва­ет то типичное, что характерно для всей совокупности; произведение средней на число наблюдений всегда рав­няется сумме произведений вариант на частоты — на этом свойстве основан непосредственный способ рас­чета:

					∑ Vn
М	=	∑ Vn	отсюда	М =
					n

сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: ∑ (V - М) = 0, значение этого свойства состоит в том, что на нем основаны ускоренные способы расчета сред­ней: способ моментов, способ суммирования частот и др.

Средняя арифметическая величина рассчитывается не­сколькими способами:

простая средняя арифметическая вычисляется на про­стых несгруппированных рядах, когда варианты встреча­ются с частотой, равной единице:

		∑ V
М	=
		n

взвешенная средняя арифметическая (вычисляется в случаях, когда варианты встречаются с неодинаковой частотой):

		∑ VP
М	=
		n

Можно вычислить среднюю арифметическую по способу моментов (это целесообразно в случаях, когда варианты пред­ставлены большими числами, например масса тела новорож­денных в граммах, и имеется число наблюдений, выраженное сотнями или тысячами случаев):

			∑ a p
М	=	A + i
			n

где А — условная средняя (любая варианта вариационного ря­да, чаще всего в качестве условной средней берется мода — М_о);; — интервал (число вариант, входящих в каждую груп­пу); а = М — А — условное отклонение каждой варианты от условной средней (условное отклонение).

Средняя арифметическая одним числом характеризует со­вокупность, обобщая то, что свойственно всем ее вариантам, поэтому она имеет ту же размерность, что и каждая из вари­ант.

Следующим видом средних величин является средняя про­грессивная, которая имеет большое значение при планирова­нии и в финансово-экономических расчетах. Методика полу­чения средней прогрессивной заключается в том, что ее вы­числяют по данным не всего круга наблюдений, а только про­грессивных (передовых), показывающих лучшие образцы. Границей, разделяющей данную совокупность на прогрессив­ную и регрессивную части, служит средняя арифметическая, т. е. средний уровень общей совокупности. В прогрессивной (передовой) части, которая находится за средним уровнем, вычисляется новая, вторая средняя величина. Это и будет средняя прогрессивная.

Сразу отметим, что реальность выдвижения этой величины в качестве нормативной обусловлена тем, что это не макси­мальный, труднодостижимый результат, а обобщенный опыт многих передовых образцов. Средняя прогрессивная — это средняя той части совокупности, варианты которой превыша­ют среднюю всей совокупности. Применение средней про­грессивной в медицинской практике требует известной осто­рожности, так как своеобразие медицинской деятельности за­ключается в ее качественной стороне. Увеличение нагрузки врача или занятости койки возможно лишь в узких пределах и может сказаться на качестве лечения. Можно пользоваться средней прогрессивной при изучении деятельности лечебно-вспомогательных (например, физиотерапевтических) отделе­ний, при изучении показателей в поликлиниче­ской практике и практике семейного врача, при учете резуль­татов физических тренировок и достижений спортсменов.

Таким образом, различия применяемых средних величин могут быть отражены в следующих определениях: средняя арифметическая (М) является результативной суммой всех влияний, в ее формировании принимают участие все вариан­ты без исключения, в том числе и крайние варианты, имею­щие подчас эксквизитный характер. Медиана и мода, в отли­чие от средней арифметической, не зависят от величины всех индивидуальных значений, т. е. всех членов вариационного ряда, а обусловливаются относительным расположением или распределением вариант. Поэтому медиану и моду даже назы­вают описательными или позиционными средними, так как они характеризуют главнейшие свойства данного распределе­ния. Средняя арифметическая характеризует всю массу на­блюдений без исключения; медиана и мода — основную мас­су, без учета воздействия крайних вариант, зависящих иногда от случайных причин.

Существует несколько вопросов, которые необходимо учитывать при анализе средних величин.

Первый вопрос может и должен быть решен в свете качественного анализа, определяющего сущность изучаемых явлений. Например, нельзя изучать физическое развитие вообще, без учета пола и возраста. Или вычислять средние сроки лечения больных в терапевтическом отделении без распределения их по отдельным нозологическим формам.

Необходимое число наблюдений определяется конкретно для каждого исследования при помощи средних ошибок. Следует избегать формального, шаблонного подхода: «не менее 100 наблюдений в каждой группе», т. к. этого может быть и много, и мало.

В связи с этим всегда следует помнить об опасности усреднённых данных. Необходимо применять только групповые средние, приводя наряду с ними показатели максимума и минимума колебаний.

Средняя величина представляет собой средство обобщения на базе группировок: можно вычислять, наряду с групповыми или частными, и общую среднюю для всей совокупности. Но совокупность обязательно должна быть качественно однородной, т. к. в разнотипной, разносоставной совокупности средняя теряет свой смысл и не отражает подлинной действительности.

Из таблицы 6 видно, что в ряду, где частоты не равны единице и не равны между собой, нельзя складывать значение вариант и, следовательно, простая средняя здесь неприменима. В этом случае надо вычислить среднюю арифметическую взвешенную, которая получается как сумма произведений вариант на соответствующие частоты, деленная на общее число наблюдений.

При этом каждая варианта умножается на свою частоту. Она как бы «взвешивается», и при этом частоты служат «весами».

Таблица 6

Распределение больных по срокам лечения

дня.

Если варианты обозначить буквой V, частоты — буквой р, общее число наблюдений буквой N (Numerus), арифметическую сумму — буквой S, то формула средней арифметической выразится следующим образом:

.

Нетрудно заметить, что эта формула средней арифметической взвешенной является пригодной и для средней арифметической простой. Т. к. в последнем случае частоты равны единице, то умножение излишне, и мы ограничиваемся простым сложением. Средняя арифметическая простая — это частный случай средней арифметической взвешенной.

Иногда на практике средние величины получают и без наличия вариационного ряда. Например, путем деления общего числа поликлинических посещений на число жителей обслуживаемого района или путем деления общей суммы койко-дней, проведенных больными в больнице, на число лечившихся больных.

Наряду со средней арифметической, в санитарной статистике применяются, хотя и реже, такие виды средних, как медиана и мода.

· Медиана (обозначаемая буквами Ме) — это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам, на две равные части.Таким образом, медиана находится на центральном месте, от которого отстоит одинаковое число и больших, и меньших вариант (и в сторону минуса, и в сторону плюса). Приближенное нахождение медианы в простом, несгруппированном ряду производится очень легко, особенно если число наблюдений нечетное. Так, например, в табл. 6, где число наблюдений составляет 33, медианой будет 17-я по счету, т. к. в обе стороны от нее отстоит по 16 наблюдений. Путем простого подсчета убеждаемся, что значение 17-й величины составляет 22. Следовательно, медиана равна 22 дням. В ряду с четным числом наблюдений в центре находятся две величины. Иногда они одинаковы по своему значению, и тогда не возникает затруднений в приближенном определении медианы.

· Мода (обозначаемая Мо) — чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина, соответствующая при графическом изображении максимальной ординате, т. е. наивысшей точке графической кривой. Таким образом, при приближенном нахождении моды в простом (несгруппированном) ряду она определяется как наиболее насыщенная или частая величина, как варианта с наибольшим количеством частот. Отличие медианы и моды от средней арифметической заключается в том, что при упрощенном, ориентировочном определении эти величины чрезвычайно легко и быстро находятся и не зависят от крайних вариант или от степени рассеяния ряда. Приближенное определение дает конкретное выражение для размеров медианы и моды. Возвращаясь к нашему примеру из табл. 6, мы видим, что варианта с наибольшим количеством частот (8) равняется 22. Мода составляет 22 дня, т. е. фактически не отличается от медианы и средней арифметической данного ряда. Подобное совпадение не является случайным. В этом можно убедиться также из последующих примеров. Объяснение этого кроется в том, что данный ряд является симметричным, близким к нормальному, так что большие отклонения средней в сторону плюса и в сторону минуса в равной мере соответствуют меньшим частотам.

Как видно из рисунка 3, при нормальном распределении все три средние величины (М, Мо, Ме) совпадают. Средняя арифметическая соответствует середине ряда, т. к. в симметричном ряду отклонения в сторону увеличения и в сторону уменьшения вариант соответственно уравновешиваются. Медиана, как центральная величина, также соответствует середине ряда. Мода, как наиболее насыщенная величина, приходится на наивысшую точку ряда, также находящуюся в его центре.

Многие распределения, с которыми встречается врач на практике, являются симметричными, близкими к нормальным. В частности, это относится к показателям физического развития. Параметры такого ряда имеют большое практическое значение для легкой промышленности, для изготовления так называемых «ходовых», наиболее часто встречающихся размеров одежды и обуви.

Рис. 3. Распределение вариант в нормальной кривой

Поэтому для большинства вариационных рядов нет необходимости вычислять другие средние величины, кроме средней арифметической. В этом кроется объяснение упомянутого выше обстоятельства, что средняя арифметическая всегда является наиболее употребительной и чаще всего применяемой в санитарной статистике величиной. Прибегать к медиане и моде приходится при наличии асимметричных рядов.

Наглядное представление об этом мы получаем при рассмотрении рисунка 4, на котором изображена резко асимметричная кривая распределения умерших от рака прямой кишки по срокам длительности болезни.

У подавляющего большинства летальные исходы наступили в ранние сроки, но в отдельных случаях продолжительность болезни составила 96, 104 и более месяцев. Эти нетипичные, эксквизитные случаи «отягощают» среднюю арифметическую, которая равняется 25, 6 месяца, в то время как мода, высчитанная по соответствующей формуле, составила 10, 38 месяца, а медиана — 20, 7 месяца. Очевидно, что наиболее типичной и характерной для данного явления средней величиной служит мода.

Таким образом, различия в применяемых средних могут быть отражены в следующих определениях. Средняя арифметическая (М) является результативной суммой всех влияний. В ее формировании принимают участие все без исключения варианты, в том числе и крайние варианты, имеющие подчас эксквизитный характер. Медиана и мода, в отличие от средней арифметической, не зависят от величины всех индивидуальных значений, т. е. всех членов вариационного ряда, а обусловливаются относительным расположением или распределением вариант. Поэтому медиану и моду также называют описательными или позиционными средними, т. к. они характеризуют главнейшие свойства данного распределения. Особенно это касается медианы, являющейся в известном смысле, непараметрической величиной. М характеризует всю массу наблюдений, а Ме и Мо — основную массу, без учета воздействия крайних вариант, т. е. исключая крайние значения, зависящие иногда от случайных причин.

Продолжи­тель­ность бо­лезни в мес. Число больных 0-6   6-12   12-18   18-24   24-30   30-36   36-42   42-48   48-54   54-60   60-66   66-72   72-78   78-84   84-90   90-96   96-102   102-108   Итого     Рис. 4. Распределение больных раком прямой кишки по продолжительности болезни до смерти (цифры условные)

Бредфорд Хилл говорил о моде, что она отражает не столько среднюю, сколько обычную длительность течения. Если задача заключается в нахождении величины, отражающей всю сумму индивидуальных значений вариант, то применяют М, если же надо определить величину, соответствующую главнейшим значениям вариант, применяют Мо.

В примере, приведенном на рис. 4, нас интересует не столько средний срок длительности течения болезни, сколько тот срок, до которого практически остается в живых наибольшее число больных, т. е. модальный срок. Незначительная частота моды ее обесценивает. В тех случаях, когда в асимметричных рядах мода по частоте своей не намного отличается от соседних вариант, предпочтительнее пользоваться медианой.

Бимодальный (или мультимодальный) ряд распределения всегда внушает подозрение своей неоднородностью, когда две вершины ряда получены в результате смешения качественно различных совокупностей. Так, например, при изучении физического развития школьников без учета их пола получаются две моды (одна из них характеризует мальчиков, другая — девочек). Подобное явление может наблюдаться в исследовании физического развития призывников при игнорировании национально-этнических групп. Если же вскрыть и устранить причину бимодального ряда не удается, то лучше пользоваться медианой.

Следующим видом средних величин, подлежащих нашему рассмотрению, является средняя прогрессивная. Средняя прогрессивная (табл. 7) имеет огромное значение в экономической статистике и значительно меньшее в санитарной статистике. Дело в том, что при вычислении обычной средней арифметической в нее входят все предприятия по уровню производительности труда, все колхозы по уровню урожайности и этим самым в подсчет входят и отстающие предприятия, с низким показателем.

Таблица 7

Средняя прогрессивная и методика ее вычисления

Средняя арифметическая: дня.

Средняя прогрессивная: дня.

Таким образом, средняя арифметическая не может быть принята в качестве правильно построенного планового норматива. Методика получения средней прогрессивной заключается в том, что её вычисляют не для всего круга предприятий или учреждений, а только для передовых, показывающих лучшие образцы работы. Границей, разделяющей их совокупность, служит средняя арифметическая, т. е. средний уровень. По той части предприятий, которая находится выше этого среднего уровня, вычисляется новая, вторая средняя величина. Это и будет средняя прогрессивная.

Сразу отметим, что реальность выдвижения этой величины в качестве нормативной обусловлена тем, что это не максимальный, трудно достижимый результат, а обобщенный опыт многих передовых образцов. Средняя прогрессивная — это средняя той части совокупности, варианты которой превышают среднюю всей совокупности. Применение средней прогрессивной в санитарно-статистической практике требует известной осторожности, т. к. своеобразие медицинской деятельности заключается в ее качественной стороне.

Увеличение нагрузки врача или занятости койки возможно лишь в узких пределах и может сказаться на качестве лечения.