Свойства градиента

Градиент.

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в точке , называется градиентом функции в точке :

(также используется обозначение ).

Обозначим – орт некоторого направления . Тогда формулу для вычисления производной функции по направлению можно записать в виде

или .

Свойства градиента

.Производная по направлению достигает своего наибольшего значения в направлении градиента:

.

Таким образом, градиент функции указывает направление наибыстрейшего ее возрастания (вектор, противоположный градиенту – направление наибыстрейшего убывания).

. Градиент функции в точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через . Действительно, вдоль поверхности уровня .

1. Найти направление и наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение.

;

.

2.. Найти поверхности уровня и градиент функции .

Решение. Поверхностями уровня данной функции является семейство параллельных плоскостей ; в любой точке области определения градиент – постоянный вектор . Заметим, что вектор нормали к каждой плоскости семейства совпадает с : .