Производная сложной функции. Полная производная.

1. Пусть задана гладкая функция двух переменных , при этом – гладкие функции по .

Полная производная функции по равна

.

Доказательство.

2. Пусть задана гладкая функция двух переменных , при этом – гладкая функции по . Тогда

.

Следствие. Если задана неявная функция то производную можно находить по формуле

.

Это следует из того, что производная функции, тожественно равной нулю , равна нулю: .

3.. Пусть задана гладкая функция двух переменных , при этом – гладкие функции. Тогда

.

1. Найти функции где .

Решение. или

.

Заметим, что можно было предварительно подставить выражения для непосредственно в и затем продифференцировать полученную функцию от по :

.

2. Найти функции где .

Решение

.

3. Найти функции , где .

Решение.

4. Найти в точке , если функция задана неявно: .

Решение. Обозначим . Тогда

, .