Экстремум функции двух переменных.

Пусть в области задана гладкая функция двух переменных и точка .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство

().

В общем точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума гладкой функции). В точках локального экстремума градиент гладкой функции равен нулю:

– точка экстремума .

Доказательство (от противного). 1. Пусть – точка максимума и . Тогда определяет направление, в котором функция возрастает, т.е. вблизи найдутся точки, в которых . Получили противоречие условию, что – точка максимума.

2. Пусть – точка минимума и . Тогда вектор определяет направление, в котором функция убывает, т.е. вблизи найдутся точки, в которых . Получили противоречие условию, что – точка минимума. ЧТД

Точки из области определения функции, в которых или не существует, называются критическими.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума дважды дифференцируемой функции). Пусть в точке и некоторой ее окрестности функция дважды непрерывно дифференцируема и . Обозначим

.

Если:

1. , то не является точкой экстремума;

2. , то может как являться точкой экстремума, так и нет (требуются дополнительные исследования);

3. , то является точкой экстремума, причем, в случае – точкой минимума, в случае – точкой максимума.

Исследовать на экстремум функцию .