Экспоненциальная модель Шумана

Экспоненциальная модель Шумана [12]-[16]. Модель основана на следующих допущениях:

- общее число команд в программе на машинном языке постоянно;

- в начале испытаний число ошибок равно некоторой постоянной величине и по мере исправления ошибок становится меньше; в ходе исправлений программы новые ошибки не вносятся;

- интенсивность отказов программы пропорциональна числу остаточных ошибок. О структуре программного модуля сделаны дополнительные допущения;

- модуль содержит только один оператор цикла, в котором есть операторы ввода информации, операторы присваивания и операторы условной передачи управления вперед;

- отсутствуют вложенные циклы, но может быть параллельных путей, если имеется оператор условной передачи управления.

При выполнении этих допущений вероятность безотказной работы находят по формуле:

;

;

(10.42)

где Ео − число ошибок в начале отладки; I − число машинных команд в модуле; и − число исправленных и оставшихся ошибок в расчете на одну команду; Т − средняя наработка на отказ; τ − время отладки; С − коэффициент пропорциональности.

Для оценки Ео и С используют результаты отладки. Пусть из общего числа прогонов системных тестовых программ r − число успешных прогонов, n-r − число прогонов, прерванных ошибками. Тогда общее время п прогонов, интенсивность ошибок и наработку на ошибку находят по формулам

Полагая и , найдем:

где − время тестирования на одну ошибку. Подставляя сюда (10.42) и решая систему уравнений, получим оценки параметров модели:

Для вычисления оценок необходимо по результатам отладки знать

Некоторое обобщение результатов (10.43)− (10.45) состоит в следующем. Пусть − время работы системы, соответствующее времени отладки и − число ошибок, обнаруженных в периодах . Тогда

Отсюда

Если − только суммарное время отладки, то и формула (10.46) совпадает с (10.45).

Если в ходе отладки прогоняется тестов в интервалах , где , то для определения оценок максимального правдоподобия используют уравнения [12]

где − число прогонов j- го теста, заканчивающихся отказами; − время, затраченное на выполнение успешных и безуспешных прогонов j- готеста.

При (10.47) сводится к предыдущему случаю и решение дает результат (10.46).

Асимптотическое значение дисперсий оценок (для больших значений ) определяются выражениями [8]

где .

Коэффициент корреляции оценок

Асимптотические значения дисперсии и коэффициента корреляции используются для определения доверительных интервалов значений и С на основе нормального распределения.

В работе [17] отмечается, что наиболее адекватной для модели Шумана является экспоненциальная модель изменения количества ошибок при изменении длительности отладки

где и определяются из эксперимента. Тогда

Средняя наработка до отказа возрастает экспоненциально с увеличением длительности отладки:

Экспоненциальная модель Джелинского− Моранды

Экспоненциальная модель Джелинского− Моранды [18]− [20].

Данная модель является частным случаем модели Шумана. Согласно этой модели. интенсивность появления ошибок пропорциональна числу остаточных ошибок:

где − коэффициент пропорциональности;

− интервал между обнаруженными ошибками.

Вероятность безотказной работы

При формула (10.48) совпадает с (10.42). В работе [21] показано, что при последовательном наблюдении ошибок в моменты можно получить оценки максимального правдоподобия для параметров . Для этого надо решить систему уравнений

Асимптотические оценки дисперсии и коэффициента корреляции (при больших ) определяются с помощью формул

Чтобы получить численные значения этих величин, надо всюду заменить и их оценками.